Уравнение и его корни - УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ - ВЫРАЖЕНИЯ, ТОЖДЕСТВА, УРАВНЕНИЯ

Цель: сформировать представление об уравнении и его корнях.

Планируемые результаты: освоить основные понятия, связанные с уравнением.

Тип уроков: уроки проблемного изложения.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Работа по теме уроков

План уроков

1. Корни уравнения.

2. Равносильные уравнения.

1. Корни уравнения

Сначала рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

Квадрат некоторого числа больше самого числа на 6. Найдем данное число.

Пусть неизвестное число равно х, тогда его квадрат равен х². Число х, увеличенное на 6, равно х + 6. По условию задачи числа х² и х + 6 равны. Получаем равенство x² = х + 6, содержащее переменную х. Это равенство будет верным не при всех значениях х, а только при тех значениях х, которые являются ответом задачи. Такое равенство называют уравнением с одной переменной (или с одним неизвестным) х. Для решения задачи надо найти такие числа, которые обращают равенство х² = х + 6 в верное. Эти числа х называют решениями уравнения или корнями уравнения. Уравнение х² = х + 6 имеет два корня: х₁ = 3 и х₂ = -2. Действительно, при подстановке значения х = 3 в уравнение получаем верное числовое равенство 3² = 3 + 6. При подстановке числа х = -2 в уравнение также получаем верное равенство (-2)² = -2 + 6.

Пример 2

Со склада вывозят груз на одинаковых машинах. Если загрузить 16 машин, то на складе останется 8 т груза. Если загрузить 14 машин, то на складе останется 32 т груза. Найдем грузоподъемность одной машины и массу груза, хранящегося на складе.

Пусть х т — грузоподъемность одной машины. Тогда 16 машин загружают 16х т груза. Если к этой величине 16х добавим 8 т, оставшихся на складе, то получим массу груза, хранящегося на складе, т. е. 16х + 8. Второе условие задачи: 14 машин загружают 14х т груза. Если к этой величине 14х добавить 32 т, оставшихся на складе, то получим массу груза, хранящегося на складе, т. е. 14х + 32. Приравняем выражения для массы груза, хранящегося на складе, которые получаются из первого и второго условий задачи. Получаем равенство 1бх + 8 = 14х + 32. Это равенство называется уравнением с одним неизвестным х. Уравнение 16х + 8 = 14х + 32 имеет один корень х = 12, так как при подстановке этого значения в уравнение получаем верное числовое равенство 16 ∙ 12 + 8= 14 ∙ 12 + 32 = 200.

Учитывая примеры, сформулируем основные понятия. Равенство между двумя алгебраическими выражениями с одной переменной называют уравнением с одной переменной (или с одним неизвестным).

Корнем уравнения называют значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

В рассмотренных примерах уравнения имели конечное число корней (два или один). Уравнения также могут иметь бесконечное множество корней или вовсе не иметь корней.

Пример 3

Уравнение 7(х + 3) = 7х + 21, используя распределительное свойство, можно записать в виде 7х + 7 ∙ 3 = 7х + 21 или 7х + 21 = 7х + 21. Видно, что при любом значении х левая часть уравнения равна правой (т. е., по сути, уравнение является тождеством). Поэтому любое число х будет корнем данного уравнения (таких корней бесконечно много).

Пример 4

Уравнение х² + 1 = -х² корней не имеет, так как при любых значениях х его левая часть х² + 1 положительна (т. е. х² + 1 > 0), а правая часть неположительна (-х² ≤ 0).

Заметим, что одна из частей уравнения может и не содержать переменной.

Пример 5

Равенства: а) 2х + 7 = 3; б) 5х - 3 = 0; в) 3х² - 10х = 5; г) 2х² - 3х + 6 = 0; д) 4 = -х² + 3х — также являются уравнениями (а, б — линейные, в—д — квадратные).

2. Равносильные уравнения

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Уравнения, которые имеют одни и те же корни, называют равносильными. Уравнения, которые не имеют корней, также считают равносильными.

Пример 6

а) Уравнения х² - 5х + 6 = 0 и (х - 2)(х - 3) = 0 являются равносильными, так как каждое из этих уравнений имеет одни и те же корни х₁ = 2 и х₂ = 3. (Проверьте сами.)

б) Уравнения х² + 5 = -3 и х² + 1 = -2 также являются равносильными, так как каждое из этих уравнений корней не имеет (в них левая часть при любых значениях х — величина положительная, а правая часть — отрицательная).

в) Уравнения х² - 5х + 6 = 0 и х + 4 = 6 не являются равносильными, так как первое уравнение имеет два корня x₁ = 2 и х₂ = 3, а второе уравнение — только один корень х = 2. Несмотря на то что уравнения имеют один общий корень х = 2, они не считаются равносильными.

Решение уравнения состоит в его постепенной замене более простыми равносильными уравнениями. При решении уравнений используются следующие свойства.

1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.

Пример 7

Уравнения 6х = 3х + 7 и 6х - 3х = 7 равносильны (перенесли слагаемое 3х в левую часть уравнения).

2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же не равное нулю число, то получится уравнение, равносильное данному.

Пример 8

Уравнения 6х = 3х + 7 и 2х = х + 7/3 равносильны (обе части уравнения разделили на 3).

Эти свойства уравнений основаны на свойствах числовых равенств: если к обеим частям верного равенства прибавить одно и то же число или обе части верного равенства умножить или разделить на одно и то же не равное нулю число, то получится верное равенство.

III. Задания на уроках

№ 111 (а), 112 (б), 113, 115, 117 (а), 118, 120 (а, б), 121 (а).

1. Составьте уравнение, которое имеет корни:

а) 4;

б) 4 и 2;

в) 4, 2 и -3.

2. Равносильны ли уравнения? Объясните почему.

а) 2(х - 3) = 4 и 2х = 10;

б) х - 3 = 0 и (х- 3)(х + 2) = 0;

в) х - 3 = 0 и х² + 1 = 0;

г) 2х² + 3 = 0 и х² + 7 = 0.

IV. Контрольные вопросы

— Что называется уравнением? Приведите примеры уравнений.

— Что называется корнем уравнения? Сколько корней может иметь уравнение? Приведите примеры.

— Какие уравнения называются равносильными?

— Сформулируйте основные свойства уравнений.

V. Подведение итогов уроков

Домашнее задание

№ 111 (б), 112 (а), 114, 116, 117 (б), 119, 120 (в, г), 121 (б).

1. Приведите примеры:

а) равносильных уравнений;

б) неравносильных уравнений.

2. Докажите, что уравнение не имеет корней: