Контрольная работа № 2 по теме Уравнения с одной переменной - СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ - ВЫРАЖЕНИЯ, ТОЖДЕСТВА, УРАВНЕНИЯ

Цель: проверить знания, умения и навыки учащихся по теме.

Тип урока: урок контроля, оценки и коррекции знаний.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Общая характеристика контрольной работы

Контрольная работа составлена в шести вариантах (варианты 1,2 — самые простые, варианты 3, 4 — средней сложности, варианты 5, 6 — самые сложные). Степень сложности меняется не слишком резко, поэтому можно рекомендовать следующий критерий оценки: при выполнении вариантов 1, 2 оценка “3” ставится за любые три решенные задачи, оценка “4” — за четыре задачи и оценка “5” — за пять задач. Одна задача дает учащимся некоторую свободу выбора. При тех же критериях оценки за решение задач вариантов 3, 4 к набранным баллам добавляются дополнительно 0,5 балла, за решение задач вариантов 5,6 — дополнительно 1 балл (т. е. оценка “5” выставляется уже за четыре задачи). Все задачи в варианте примерно равноценны. Возможно, несколько труднее для учеников задачи 5, 6.

Перед проведением контрольной работы учащихся целесообразно ознакомить с критериями оценки и разной сложностью вариантов. Выбор вариантов может быть осуществлен учителем или предоставлен ученикам (в этом случае предполагается наличие копировальной техники в школе и избыточное количество заданий). При наличии такой техники в классе на стенде (после контрольной) может быть вывешено решение всех задач шести вариантов. Разумеется, разобрать такое количество задач на уроке невозможно (да и не нужно).

Контрольная работа рассчитана на один урок.

III. Контрольная работа

Вариант 1

1. Какие из чисел -3, -2, 2, 3 являются корнями уравнения:

а) х² + 8 = 6х;

б) |х - 6| = 3 - 2х?

2. Решите уравнение:

3. При каком значении переменной разность выражений 6х - 7 и 2х + 3 равна 4?

4. При каком значении параметра а уравнение а ∙ х = 3а + х имеет единственный корень? Найдите его.

5. На складе хранится 520 т рыбы. При этом трески в 1,5 раза больше, чем наваги. Окуня на 16 т больше, чем трески. Сколько тонн наваги, трески и окуня находится на складе?

6. Найдите три последовательных натуральных числа, если утроенная сумма крайних чисел на 145 больше среднего числа.

Вариант 2

1. Какие из чисел -3, -2, 2, 3 являются корнями уравнения:

а) х² + 9 = 6х;

б) |х - 4| = -2 - 4х?

2. Решите уравнение:

3. При каком значении переменной разность выражений 8х - 3 и 3х + 4 равна 5?

4. При каком значении параметра а уравнение а ∙ х = 4а + 2х имеет единственный корень? Найдите его.

5. На базе хранится 590 т овощей. При этом картофеля в 2,5 раза больше, чем моркови. Лука на 14 т больше, чем картофеля. Сколько тонн моркови, картофеля и лука находится на базе?

6. Найдите три последовательных натуральных четных числа, если удвоенная сумма крайних чисел на 84 больше среднего числа.

Вариант 3

1. Не решая уравнения 9(2х - 1) + 6(3х + 1) = 127, докажите, что оно не имеет целых корней.

2. Решите уравнение:

3. Оля задумала число и уменьшила его на 3. Этот результат умножила на 4 и прибавила к нему 7. В итоге получилось 31. Найдите задуманное число.

4. Решите уравнение (а - 3) ∙ х = 2а - 6 при всех значениях параметра а.

5. На трех автобазах находится 606 машин. На второй базе на 18 машин больше, чем на первой. На третьей базе в 2 раза больше машин, чем на первых двух базах вместе. Какой процент всех машин находится на третьей базе? Сколько машин на первой базе?

6. При каком наименьшем натуральном значении параметра а уравнение 3(х - 1) = а - 8 имеет положительный корень?

Вариант 4

1. Не решая уравнения 6(4х + 1) + 9(2x - 3) = 128, докажите, что оно не имеет целых корней.

2. Решите уравнение:

3. Юра задумал число и увеличил его на 2. Этот результат умножил на 5 и вычел из него 6. В итоге получилось 49. Найдите задуманное число.

4. Решите уравнение (а - 2) ∙ х = 3а - 6 при всех значениях параметра а.

5. На трех складах хранится 624 компьютера. На третьем складе находится на 12 компьютеров меньше, чем на первом. На втором складе в 3 раза больше компьютеров, чем на первом и третьем складах вместе. Какой процент всех компьютеров хранится на втором складе? Сколько компьютеров на первом складе?

6. При каком наибольшем натуральном значении параметра а уравнение 4(х - 2) = а - 15 имеет отрицательный корень?

Вариант 5

1. Решите уравнение |х - 1| + |х - 4| = 3.

2. Решите уравнение (а - 3)(а + 2) ∙ х = а + 2 при всех значениях параметра а.

3. Количество компьютеров на трех складах относится как 1 : 2 : 3. С первого склада было продано 7 компьютеров, с третьего склада - 16 компьютеров, а на второй склад привезли 17 компьютеров. После этого на втором складе стало столько же компьютеров, сколько на первом и третьем складах вместе. Сколько компьютеров было на каждом складе сначала?

4. Катер по течению реки за 5 ч проплыл такое же расстояние, которое проплывает против течения реки за 8 ч. Во сколько раз собственная скорость катера больше скорости течения реки?

5. Докажите, что уравнение (х + 3)(х + 4)(х + 5) = 31 не имеет целых корней.

6. При каких целых значениях параметра а уравнение а ∙ х = 5 + 2х имеет целые корни? Найдите эти корни.

Вариант 6

1. Решите уравнение |х - 2| + |х - 5| = 3.

2. Решите уравнение (а - 2)(а + 3) ∙ х = а + 3 при всех значениях параметра а.

3. Количество компьютеров на трех складах относится как 2 : 1 : 3. С первого склада было продано 9 компьютеров, с третьего склада - 27 компьютеров, а на второй склад привезли 32 компьютера. После этого на втором складе стало столько же компьютеров, сколько на первом и третьем складах вместе. Сколько компьютеров было на каждом складе сначала?

4. Катер по течению реки за 6 ч проплыл такое же расстояние, которое проплывает против течения реки за 9 ч. Во сколько раз собственная скорость катера больше скорости течения реки?

5. Докажите, что уравнение (х + 1)(х + 2)(х + 3) = 25 не имеет целых корней.

6. При каких целых значениях параметра а уравнение а ∙ х = 7 + 3х имеет целые корни? Найдите эти корни.

IV. Подведение итогов контрольной работы

1. Распределение работ по вариантам и результаты решения. Удобно данные заносить в таблицу (для каждой пары вариантов).

№ задачи	Итоги
	+	±	-	Ø
1	5	1	1	1
2
...
6

Обозначения:

+ — число решивших задачу правильно или почти правильно;

± — число решивших задачу со значительными погрешностями;

— — число не решивших задачу;

Ø — число не решавших задачу.

Варианты 1, 2 — 8 учащихся.

2. Типичные ошибки при решении задач.

3. Задачи, вызвавшие наибольшие трудности.

V. Разбор задач (ответы и решения)

Вариант 1

1. а) 2; б) -3.

2. а) х = 1/2 и х = -3; б) х = -3,5.

3. х = 3,5.

4. При

5. 126 т наваги, 189 т трески, 205 т окуня.

6. 28, 29, 30.

Вариант 2

1. а) х = 3; б) х = -2.

2. а) х = 1/3 и х = -2; б) х = -6.

3. х = 2,4.

4. При

5. 96 т моркови, 240 т картофеля, 254 т лука.

6. 26, 28, 30.

Вариант 3

1. Доказано.

2. а) х = 4,6; б) х = 2 и х = -4/3.

3. 9.

4. При а ≠ 3 х = 2, при а = 3 х — любое число.

5. 92 машины.

6. а = 6.

Вариант 4

1. Доказано.

2. а) х = -2; б) х = 1 и х = -1/7.

3. 9.

4. При а ≠ 2 х = 3, при а = 2 х — любое число.

5. 75%; 84 компьютера.

6. а = 6.

Вариант 5

1. При решении уравнения |х - 1| + |х - 4| = 3 учтем геометрический смысл модуля. Величина |х - 1| — расстояние от числа х до числа 1 на координатной прямой, величина |х - 4| — расстояние от числа х до числа 4. Тогда геометрический смысл данного уравнения таков: сумма расстояний от числа х до чисел 1 и 4 должна равняться 3.

На рисунке видно, что для чисел 1 ≤ х ≤ 4 такое условие выполняется. Таким образом, решение данного уравнения — любое число х из промежутка 1 ≤ х ≤ 4.

(Ответ: 1 ≤ х ≤ 4.)

2. Если коэффициент при х в уравнении (а - 3)(а + 2) ∙ х = а + 2 не равен нулю (т. е. а ≠ 3 и а ≠ -2), то уравнение имеет единственный корень

Подставим значение а = 3 в данное уравнение и получим (3 - 3)(3 + 2) ∙ х = 3 + 2 или 0 ∙ x = 5. Такое уравнение решений не имеет. Подставим значение а = -2 в данное уравнение и получим (-2 - 3)(-2 + 2) ∙ х = -2 + 2 или 0 ∙ x = 0. Любое число x является решением данного уравнения.

Ответ: при а ≠ 3 и а ≠ -2 при а = 3 решений нет, при а = -2 х — любое число.)

3. Так как число компьютеров на складах относится как 1 : 2 : 3, то на первом складе находится х штук, на втором — 2х штук и на третьем — 3х штук. В соответствии с условиями задачи после продажи и поступления компьютеров на склады их стало: на первом складе — х - 7 штук, на втором складе — 2х + 17 штук и на третьем складе — 3х - 16 штук. После этого на втором складе стало столько же компьютеров, сколько на первом и третьем складах вместе. Поэтому получаем уравнение: 2х + 17 = (х - 7) + (3х - 16), или 2х + 17 = 4х - 23, или 40 = 2х, откуда х = 20. Следовательно, на складах было: на первом — 20 компьютеров, на втором — 2 ∙ 20 = 40 компьютеров, на третьем — 3 ∙ 20 = 60 компьютеров.

(Ответ: 20 компьютеров, 40 компьютеров, 60 компьютеров.)

4. Пусть собственная скорость катера х км/ч, скорость течения реки у км/ч. По течению реки, двигаясь со скоростью х + у км/ч, катер за 5 ч проплыл расстояние 5(х + y) км. Против течения реки, двигаясь со скоростью х - у км/ч, катер за 8 ч проплыл расстояние 8(х – y) км. По условию эти расстояния одинаковы. Поэтому получаем уравнение: 5(х + у) = 8(х - у), или 5х + 5у = 8х – 8y, или 5у + 8y = 8х - 5х, или 13y = 3х, откуда

Следовательно, собственная скорость катера больше скорости течения реки в раза.

(Ответ: в раза.)

5. Пусть уравнение (х + 3)(х + 4)(х + 5) = 31 имеет целый корень х. Тогда числа х + 3, х + 4, х + 5 — целые и последовательные. Среди трех последовательных целых чисел обязательно одно делится на 2 и одно — на 3 (например, числа 7, 8, 9), поэтому произведение таких чисел без остатка делится на 2 ∙ 3 = 6. Следовательно, левая часть уравнения кратна 6. В правой части уравнения стоит число 31, которое делится на 6 с остатком 1. Получаем противоречие. Поэтому данное уравнение не может иметь целых корней.

(Ответ: доказано.)

6. Уравнение а ∙ х = 5 + 2х запишем в виде а ∙ х - 2х = 5 или (а - 2) ∙ х = 5. При а ≠ 2 это уравнение имеет корень Чтобы такой корень был целым числом, надо, чтобы целое число а - 2 было делителем числа 5 (т. е. ±1, ±5). Итак, рассмотрим четыре случая:

1) а - 2 = 1 (т. е. а = 3), тогда

2) а - 2 = -1 (т. е. а = 1), тогда

3) а - 2 = 5 (т. е. а = 7), тогда

4) а - 2 = -5 (т. е. а = -3), тогда

(Ответ: при а = 3 х = 5, при а = 1 х = -5, при а = 7 х = 1, при а = -3 х = -1.)

Вариант 6

1. При решении уравнения |х - 2| + |х - 5| = 3 учтем геометрический смысл модуля. Величина |х - 2| — расстояние от числах до числа 2 на координатной прямой, величина |х - 5| — расстояние от числа х до числа 5. Тогда геометрический смысл данного уравнения таков: сумма расстояний от числа х до чисел 2 и 5 должна равняться 3.

На рисунке видно, что для чисел 2 ≤ х ≤ 5 такое условие выполняется. Таким образом, решение данного уравнения — любое число х из промежутка 2 ≤ х ≤ 5.

(Ответ: 2 ≤ х ≤ 5.)

2. Если коэффициент при х в уравнении (а - 2)(а + 3) ∙ х = а + 3 не равен нулю (т. е. (а - 2)(а + 3) ≠ 0 или а ≠ 2 и а ≠ -3), то уравнение имеет единственный корень Подставим значение а = 2 в данное уравнение и получим (2 - 2)(2 + 3) ∙ х = 2 + 3 или 0 ∙ х = 5. Такое уравнение решений не имеет. Подставим значение а = -3 в данное уравнение и получим (-3 - 2)(-3 + 3) ∙ х = -3 + 3 или 0 ∙ х = 0. Любое число х является решением данного уравнения.

(Ответ: при a ≠ 2 и a ≠ -3 при а = 2 решений нет, при а = -3 х — любое число.)

3. Так как число компьютеров на складах относится как 2 : 1 : 3, то на первом складе находится 2х штук, на втором — х штук и на третьем — 3х штук. В соответствии с условиями задачи после продажи и поступления компьютеров на склады их стало: на первом складе — 2х - 9 штук, на втором — х + 32 штук и на третьем складе — 3х - 27 штук. После этого на втором складе стало столько же компьютеров, сколько на первом и третьем складах вместе. Поэтому получаем уравнение: х + 32 = (2х - 9) + (3х - 27), или х + 32 = 5х - 36, или 68 = 4х, откуда х = 17. Следовательно, на складах было: на первом — 2 ∙ 17 - 34 компьютера, на втором — 17 компьютеров, на третьем — 3 ∙ 17 = 51 компьютер.

(Ответ: 34 компьютера, 17 компьютеров, 51 компьютер.)

4. Пусть собственная скорость катера х км/ч, скорость течения реки у км/ч. По течению реки, двигаясь со скоростью х + у км/ч, катер за 6 ч проплыл расстояние 6(х + y) км. Против течения реки, двигаясь со скоростью х - у км/ч, катер за 9 ч проплыл расстояние 9(х - у) км. По условию эти расстояния одинаковы. Поэтому получаем уравнение: 6(х + у) = 9(х – y), или 6х + 6у = 9х - 9у, или 6у + 9у = 9х - 6х, или 15у = 3х, откуда

Следовательно, собственная скорость катера больше скорости течения реки в 5 раз.

(Ответ: в 5 раз.)

5. Пусть уравнение (х + 1)(х + 2)(х + 3) = 25 имеет целый корень х, тогда числа х + 1, х + 2, х + 3 — целые и последовательные. Среди трех последовательных целых чисел обязательно одно делится на 2 и одно — на 3 (например, числа 13, 14, 15), поэтому произведение таких чисел без остатка делится на 2 ∙ 3 = 6. Следовательно, левая часть уравнения кратна 6. В правой части уравнения стоит число 25, которое делится на 6 с остатком 1. Получаем противоречие. Поэтому данное уравнение не может иметь целых корней.

(Ответ: доказано.)

6. Уравнение а ∙ х = 7 + 3х запишем в виде а ∙ х - 3х = 7 или (а - 3) ∙ х = 7. При а ≠ 3 это уравнение имеет корень Чтобы такой корень был целым числом, надо, чтобы целое число а - 3 было делителем числа 7 (т. е. ±1, ±7). Итак, рассмотрим четыре случая:

1) а - 3 = 1 (т. е. а = 4), тогда

2) а - 3 = -1 (т. е. а = 2), тогда

3) а - 3 = 7 (т. е. а = 10), тогда

4) а - 3 = -7 (т. е. а = -4), тогда

(Ответ: при а = 4 х = 7, при а = 2 х = -7, при а = 10 х = 1, при а = -4 х = -1.)

VI. Подведение итогов урока