Зачет по теме Выражения. Преобразование выражений. Уравнения - СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ - ВЫРАЖЕНИЯ, ТОЖДЕСТВА, УРАВНЕНИЯ

Цели: сравнить успеваемость учащихся при одинаковой сложности заданий; иметь возможность повысить оценки за выполненные контрольные работы.

Тип уроков: уроки контроля, оценки и коррекции знаний.

Ход уроков

I. Сообщение темы и целей уроков

II. Общая характеристика зачетной работы

Работа составлена в двух равноценных вариантах. По сравнению с контрольной работой увеличено количество заданий. Соответственно, у учащихся возрастает возможность выбора задач. Все задания разбиты на три блока А, В и С. Самые простые задачи представлены в блоке А, более сложные — в блоке В, еще сложнее — в блоке С. Каждая задача из блока А оценивается 1 баллом, из блока В — 2 баллами, из блока С — 3 баллами. Поэтому за правильное решение всех задач блока А можно получить 7 баллов, блока В — 8 баллов и блока С — 9 баллов (всего 24 балла). Оценка “3” ставится за 6 баллов, оценка “4” — за 10 баллов, оценка “5” — за 14 баллов.

Так как эта работа является зачетной, то в нее не включены принципиально новые задачи. Работа рассчитана на два урока.

III. Зачетная работа

Вариант 1

А

1. Найдите значение выражения при а = 2, b = 3.

2. Укажите допустимые значения переменной в выражении

3. Является ли равенство 3а + 4ab + 3b = 4bа + 3(b + а) тождеством и почему?

4. Решите уравнение 2(х - 3) = 7(2 - х).

5. Решите уравнение 2 ∙ |х - 5| = 4.

6. Докажите, что уравнение 3 ∙ |х| + х² + 7 = 6 не имеет решений.

7. Докажите, что уравнение 2х² + 5х + 1 = 0 не имеет положительных корней.

В

8. Упростите выражение 1,7(2а - 3) + 0,6(3a - 1) - 0,4(а - 8).

9. Решите уравнение |4 - х| = х - 4.

10. Решите уравнение (3х - 2)(2х - 4) = 0.

11. Докажите, что уравнение 2(х - 3)² + 4 ∙ |х - 5| + 1 = 0 не имеет решений.

С

12. Решите уравнение 3(х - 2)² + 4 ∙ |6 - 3х| = 0.

13. При каких значениях параметра а уравнение 3ах = 5а - 3х + 5 имеет корни 3, 7 и 15?

14. Докажите, что не существуют целые числа х и у, при которых выполняется равенство (х + 3)(х + 4) = 8у + 5.

Вариант 2

А

1. Найдите значение выражения при а = 3, b = 2.

2. Укажите допустимые значения переменной в выражении

3. Является ли равенство 7а + 2ab + 7b = 2bа + 7(b + а) тождеством и почему?

4. Решите уравнение 3(х - 4) = 5(3 - х).

5. Решите уравнение 3 ∙ |4 - х| = 6.

6. Докажите, что уравнение |х| + 2х² + 5 = 4 не имеет решений.

7. Докажите, что уравнение 3х² + 1х + 2 = 0 не имеет положительных корней.

В

8. Упростите выражение 2,7(3а + 5) + 0,4(2a - 3) - 0,6(а - 3).

9. Решите уравнение |5 - х| = х - 5.

10. Решите уравнение (2х - 5)(3х - 4) = 0.

11. Докажите, что уравнение 5(х - 4)² + 7 ∙ |х - 5| + 2 = 0 не имеет решений.

С

12. Решите уравнение 2(х - 3)² + 5 ∙ |9 - 3х| = 0.

13. При каких значениях параметра а уравнение 7ax = 4а - 7х + 4 имеет корни 2, 5 и 17?

14. Докажите, что не существуют целые числа х и у, при которых выполняется равенство (х + 5)(х + 6) = 6у + 3.

IV. Разбор задач (ответы и решения)

Вариант 1

А

1. В выражение подставим значения переменных а = 2 и b = 3. Получаем

(Ответ: )

2. Данное выражение имеет смысл, если знаменатели дробей не равны нулю, т. е. 2(а - 3) - (а + 1) ≠ 0 и 3(1 - а) + 4(а - 2) ≠ 0. Упростим выражения в левых частях неравенств, раскрыв скобки и приведя подобные члены. Получаем 2a – 6 – а – 1 ≠ 0 и 3 – 3a + 4a – 8 ≠ 0 или a – 7 ≠ 0 и a – 5 ≠ 0. Тогда а ≠ 1 и а ≠ 5.

(Ответ: а ≠ 7 и а ≠ 5.)

3. Покажем, что левая часть равенства тождественно равна правой. На основании переместительного и сочетательного свойств получаем 3а + 4ab + 3b = 4аb + 3b + 3а = 4ba + (3b + 3а). На основании распределительного свойства имеем 4ba + (3b + 3а) = 4ba + 3(b + а). Следовательно, данное равенство является тождеством.

(Ответ: является.)

4. В обеих частях уравнения 2(х - 3) = 7(2 -х) раскроем скобки: 2х - 6 = 14 - 7х. В левую часть перенесем слагаемые, зависящие от х, в правую часть — числа. Получаем 2х + 7х = 14 + 6. Приведем подобные члены: 9х = 20. Тогда

(Ответ: )

5. Обе части уравнения 2 ∙ |х - 5| = 4 разделим на число 2 и получим |х - 5| = 2. Так как модуль некоторой величины равен 2, то сама величина равна 2 или -2. Получаем два линейных уравнения: х - 5 = 2 (тогда корень х = 7) и х - 5 = -2 (корень х = 3).

(Ответ: х = 7 и х = 3.)

6. Уравнение 3 ∙ |х| + х² + 7 = 6 запишем в виде 3 ∙ |х| + х² = -1. Каждое слагаемое в левой части уравнения неотрицательно при любых значениях х (т. е. 3 ∙ |х| ≥ 0 и х² ≥ 0). Поэтому сумма слагаемых также неотрицательна. Получаем противоречие: левая часть неотрицательна и равна отрицательному числу -1. Следовательно, при всех значениях х равенство не выполняется. Поэтому данное уравнение не имеет решений.

(Ответ: доказано.)

7. Пусть уравнение 2х² + 5х + 1 = 0 имеет положительный корень х. Тогда каждое слагаемое в левой части уравнения положительно, так как 3х² > 0 и 5х > 0. Сумма положительных слагаемых является величиной положительной и не может равняться нулю. Получаем противоречие. Следовательно, данное уравнение не имеет положительных корней.

(Ответ: доказано.)

В

8. В данном выражении раскроем скобки и приведем подобные члены. Получаем 1,7(2а - 3) + 0,6(3а - 1) - 0,4(а - 8) = 3,4а - 5,1 + 1,8а - 0,6 - 0,4а + 3,2 = 4,8а - 2,5.

(Ответ: 4,8а - 2,5.)

9. При решении уравнения |4 - х| = х - 4 учтем, что при всех значениях х левая часть уравнения неотрицательна. Поэтому правая часть также должна быть неотрицательной: х - 4 ≥ 0. Это условие выполняется при х ≥ 4. При таких значениях х выражение 4 - х, стоящее под знаком модуля, неположительное. Тогда по определению модуля |4 - х| = -(4 - х) = х - 4. Поэтому данное уравнение имеет вид х - 4 = х – 4 и выполняется при всех значениях х. Однако все рассуждения справедливы только при х ≥ 4. Именно такие значения х и будут решениями уравнения.

(Ответ: х ≥ 4.)

10. В уравнении (3х - 2)(2х - 4) = 0 произведение двух множителей равно нулю, поэтому один из множителей равен нулю. Получаем два линейных уравнения: 3х - 2 = 0 (его корень х = 2/3) и 2х - 4 = 0 (корень х = 2).

(Ответ: х = 2/3 и х = 2.)

11. В уравнении 2(х - 3)² + 4 ∙ |х - 5| + 1 = 0 при всех значениях х два первых слагаемых неотрицательны, т. е. 2(х - 3)² ≥ 0 и 4 ∙ |х - 5| ≥ 0. Последнее слагаемое — положительное число. Сумма трех таких слагаемых — величина положительная и не может равняться нулю. Поэтому данное уравнение не имеет решений.

(Ответ: доказано.)

С

12. В уравнении 3(х - 2)² + 4 ∙ |6 - 3х| = 0 каждое слагаемое при всех значениях х неотрицательно. Поэтому их сумма будет равняться нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю, т. е. 3(х - 2)² = 0 и 4 ∙ |6 - 3х| = 0. Первое уравнение разделим на 3, второе — на 4. Получаем уравнения (х - 2)² = 0 и |6 - 3х| = 0. Если квадрат некоторой величины равен нулю, то и сама величина равна нулю, т. е. х - 2 = 0, откуда х = 2. Проверим подстановкой, что при таком значении х выполняется и второе уравнение: |6 - 3 ∙ 2| = |6 - 6| = |0| = 0, откуда х = 2.

(Ответ: х = 2.)

13. Линейное уравнение 3ах = 5а - 3х + 5 запишем в стандартном виде: 3ах + 3х = 5а + 5 или 3х(а + 1) = 5(a + 1). Если коэффициент при х не равен нулю (т. е. а + 1 ≠ 0 или а ≠ -1), то уравнение имеет единственный корень и условие задачи не выполняется. При а = -1 данное уравнение имеет вид х ∙ 0 = 0. Поэтому любое значение х является корнем уравнения.

Следовательно, в этом случае уравнение будет иметь корни 3, 7 и 15.

(Ответ: а = -1.)

14. Пусть существуют целые числа х и у, которые удовлетворяют уравнению (х + 3)(х + 4) = 8у + 5. Тогда числа х + 3 и х + 4 — два целых последовательных числа. Одно из этих чисел четное, и произведение (х + 3)(х + 4) является четным числом. Число 8у = 2 ∙ 4у четное. Тогда сумма четного числа 8у и нечетного числа 5 будет числом нечетным. Получаем противоречие: левая часть уравнения — четное число, правая часть — нечетное. Следовательно, величины д; и у не могут быть целыми числами.

(Ответ: доказано.)

Вариант 2

А

1. В выражение подставим значения переменных а = 3 и b = 2. Получаем

(Ответ: )

2. Данное выражение имеет смысл, если знаменатели дробей не равны нулю, т. е. 4(а - 2) - 3(а - 1) ≠ 0 и 4(1 - а) + 5(a - 3) ≠ 0. Упростим выражения в левых частях неравенств, раскрыв скобки и приведя подобные члены. Получаем 4а - 8 - 3а + 3 ≠ 0 и 4 – 4a + 5a - 15 ≠ 0 или a – 5 ≠ 0 и a – 11 ≠ 0. Тогда а ≠ 5 и а ≠ 11.

(Ответ: а ≠ 5 и а ≠ 11.)

3. Покажем, что левая часть равенства тождественно равна правой. На основании переместительного и сочетательного свойств получаем 7а + 2ab + 7b = 2ab + 7b + 7а = 2ba + (7b + 7а). На основании распределительного свойства имеем 2ba + (7b + 7а) = 2bа + 7(b + а).

Следовательно, данное равенство является тождеством.

(Ответ: является.)

4. В обеих частях уравнения 3(х - 4) = 5(3 - х) раскроем скобки: 3х - 12 = 15 - 5х. В левую часть перенесем слагаемые, зависящие от х, в правую часть — числа. Получаем 3х + 5х = 12 + 15. Приведем подобные члены 8x = 27. Найдем

(Ответ: )

5. Обе части уравнения 3 ∙ |4 - x| = 6 разделим на число 3 и получим |4 - х| = 2. Так как модуль некоторой величины равен 2, то сама величина равна 2 или -2. Получаем два линейных уравнения: 4 - х = 2 (тогда корень х = 2) и 4 - х = -2 (корень х = 6).

(Ответ: х = 2 и х = 6.)

6. Уравнение |х| + 2х² + 5 = 4 запишем в виде |х| + 2х² = -1. Каждое слагаемое в левой части уравнения неотрицательное при любых значениях х (т. е. |х| ≥ 0 и 2х² ≥ 0). Поэтому сумма слагаемых также неотрицательна. Получаем противоречие: левая часть неотрицательная и равна отрицательному числу -1. Следовательно, при всех значениях х равенство не выполняется. Поэтому данное уравнение не имеет решений.

(Ответ: доказано.)

7. Пусть уравнение 3х² + 7х + 2 = 0 имеет положительный корень х. Тогда каждое слагаемое в левой части уравнения положительное, так как 3х² > 0 и 7х > 0. Сумма положительных слагаемых является величиной положительной и не может равняться нулю. Получаем противоречие. Следовательно, данное уравнение не имеет положительных корней.

(Ответ: доказано.)

В

8. В данном выражении раскроем скобки и приведем подобные члены. Получаем 2,7(3а + 5) + 0,4(2а - 3) - 0,6(а - 3) = 8,1а + 13,5 + 0,8а - 1,2 - 0,6а + 1,8 = 8,3а + 14,1.

(Ответ: 8,3а + 14,1.)

9. При решении уравнения |5 - х| = х - 5 учтем, что при всех значениях х левая часть уравнения неотрицательная. Поэтому правая часть также должна быть неотрицательной: х - 5 ≥ 0. Это условие выполнятся при х ≥ 5. При таких значениях х выражение 5 - х, стоящее под знаком модуля, неположительное. Тогда по определению модуля |5 - х| = -(5 - х) = х - 5. Поэтому данное уравнение имеет вид х – 5 = х – 5 и выполняется при всех значениях х. Однако все рассуждения справедливы только при х ≥ 5. Именно такие значения х и будут решениями уравнения.

(Ответ: х ≥ 5.)

10. В уравнении (2х - 5)(3х - 4) = 0 произведение двух множителей равно нулю. Поэтому один из множителей равен нулю. Получаем два линейных уравнения: 2х - 5 = 0 (его корень х = 5/2 = 2,5) и 3х - 4 = 0 (корень х = 4/3).

(Ответ: х = 2,5 и х = 4/3.)

11. В уравнении 5(х - 4)² + 7|х - 5| + 2 = 0 при всех значениях х два первых слагаемых неотрицательные, т. е. 5(х - 4)² ≥ 0 и 7|х - 5| ≥ 0. Последнее слагаемое — положительное число. Сумма трех таких слагаемых — величина положительная и не может равняться нулю. Поэтому данное уравнение не имеет решений.

(Ответ: доказано.)

С

12. В уравнении 2(х - 3)² + 5|9 - 3х| = 0 каждое слагаемое при всех значениях х неотрицательное. Поэтому их сумма будет равняться нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю, т. е. 2(х - 3)² = 0 и 5|9 - 3х| = 0. Первое уравнение разделим на 2, второе — на 5. Получаем уравнения (х - 3)² = 0 и |9 - 3х| = 0. Если квадрат некоторой величины равен нулю, то и сама величина равна нулю, т. е. х - 3 = 0, откуда х = 3. Проверим подстановкой, что при таком значении х выполняется и второе уравнение: |9 - 3 ∙ 3| = |9 - 9| = |0| = 0. Итак, данное уравнение имеет единственный корень х = 3.

(Ответ: х = 3.)

13. Линейное уравнение 7ax = 4а - 7х + 4 запишем в стандартном виде: 7ах + 7х = 4а + 4 или 7х(а + 1) = 4(а + 1). Если коэффициент при х не равен нулю (т. е. а + 1 ≠ 0 или а ≠ -1), то уравнение имеет единственный корень и условие задачи не выполняется. При а = -1 данное уравнение имеет вид х ∙ 0 = 0. Поэтому любое значение х является корнем уравнения. Следовательно, в этом случае уравнение будет иметь корни 2,5 и 17.

(Ответ: а = -1.)

14. Пусть существуют целые числа х и у, которые удовлетворяют уравнению (х + 5)(х + 6) = 6у + 3. Тогда числа х + 5 и х + 6 — два целых последовательных числа. Одно из этих чисел четное, и произведение (х + 5)(х + 6) является четным числом. Число 6у = 2 ∙ 3у четное. Тогда сумма четного числа 6у и нечетного числа 3 будет числом нечетным. Получаем противоречие: левая часть уравнения — четное число, правая часть — нечетное. Следовательно, величины х и у не могут быть целыми числами.

(Ответ: доказано.)

V. Подведение итогов уроков