Вычисление значений функций по формуле - ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ - ФУНКЦИИ

Цель: познакомить с аналитическим способом задания функции.

Планируемые результаты: научиться вычислять значение функции по формуле.

Тип уроков: урок-исследование, урок-практикум.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Дайте определение функции.

2. Приведите примеры функций, укажите независимую и зависимую переменные.

Вариант 2

1. Что называется областью определения и областью значений функции?

2. Приведите примеры функций, укажите независимую и зависимую переменные.

III. Работа по теме уроков

Способ задания функции с помощью формулы (формул) называется аналитическим. Он позволяет для любого значения аргумента найти соответствующее значение функции путем вычислений. Чтобы вычислить значение функции у(х) при х = а, надо в формулу, задающую функцию, подставить данное значение аргумента а и выполнить вычисления. Такое значение функции обозначают символом у(а).

Пример 1

Рассмотрим функцию y(х) = х³ + х. Эта формула означает, что для вычисления величины у необходимо возвести в третью степень значение х и полученную величину сложить с самой величиной х. Например: у(-2) = (-2)³ + (-2) = -8 - 2 = -10; у(5) = 5³ + 5 = 125 + 5 = 130; у(а) = а³ + а; у(3а) = (3а)³ + (3а) = 3³ ∙ а³ + 3а = 27а³ + 3а и т. д. Функция может быть задана и с помощью нескольких формул.

Пример 2

Рассмотрим функцию

Несмотря на некоторую непривычность, это выражение также задает функцию, и для любого значения х легко найти величину у. Например, (так как значение х = 3/7 положительно, то используем первую строчку определения функции), у(0) = 0 (так как значение х = 0, то используем вторую строчку), у(-2,3) = -1 (так как значение х = -2,3 отрицательно, то используем третью строчку).

Пример 3

Рассмотрим функцию у(х) = |х|. Если учесть определение модуля числа (выражения), то эту функцию можно записать в следующем виде:

Для любого значения х можно найти у. Например, у(3,7) = 3,7 (так как значение х = 3,7 положительно, то используем первую строчку определения функции), у(0) = 0 (так как значение х = 0 неотрицательно, то вновь используем первую строчку), у(-2,3) = -(-2,3) = 2,3 (так как значение х = -2,3 отрицательно, то используем вторую строчку).

Достаточно часто приходится решать обратную задачу — находить значение аргумента по известному значению функции.

Пример 4

Функция задана формулой у = 5х - 7. Найдем, при каком значении аргумента х значение функции у равно 13.

Подставим значение у = 13 в формулу у = 5х - 7. Получаем линейное уравнение 13 = 5х - 7. Решая его, получаем х = 4. Итак, при х = 4 значение у = 13.

Заметим, что для нахождения значения функции при х = а, надо подставить эту величину а вместо х в формулу функции и выполнить вычисления. Такие действия всегда легко выполнить. Для нахождения значения аргумента х по известному значению функции у = b надо подставить эту величину b вместо у в формулу функции. Получается уравнение с неизвестной х, корни которого и являются требуемыми значениями аргумента. При этом иногда такое уравнение очень сложно решить.

(Пока учащиеся умеют решать только линейные уравнения.)

При задании функции ее область определения иногда указывается. Если она не указана, то область определения состоит из всех значений аргумента, при которых формула для функции имеет смысл.

Пример 5

а) Функция задана формулой где 2 ≤ х ≤ 9. В этом примере область определения указана — все значения х из промежутка 2 ≤ х ≤ 9.

б) Функция задана формулой В этом случае область определения не указана.

Найдем значения аргумента х, при которых формула для функции имеет смысл. Так как эта формула представляет собой дробь, то ее знаменатель не может равняться нулю, т. е. (х - 1)(х + 3) ≠ 0, откуда х ≠ 1 и х ≠ -3. Итак, область определения данной функции — все значения х, кроме чисел -3 и 1.

IV. Задания на уроках

№ 267, 269, 272 (а, б), 273, 276, 278.

V. Контрольные вопросы

— Какой способ задания функции называется аналитическим?

— Приведите примеры функций, заданных: а) одной формулой; б) двумя формулами; в) тремя формулами.

— Как найти значение функции по известному аргументу? Поясните на примере.

— Как найти значения аргумента, которому соответствует данное значение функции? Поясните на примере.

— Как найти область определения функции? Поясните на примере.

VI. Творческие задания

1. Какие формулы задают функцию?

(Ответы: а, в) задают функцию; б, г) — нет, так как одному значению аргумента х могут соответствовать два значения у: б) при х = 1 у = ±1, г) при х = 2 у₁ = 2 и у₂ = 4.)

2. Найдите область определения функции:

3. Объясните, почему перечисленные формулы не задают функцию. Как надо записать эти формулы, чтобы они определили функцию?

(Ответы:

а) При х = 5 существуют два значения у: 2 и 6. Поэтому одно значение надо устранить. Формулу можно записать в следующем виде:

б) При х = -2 существуют два значения у: -2 и -4, при х = 1 также существуют два значения у: 2 и 3. По одному значению надо устранить. Формулу можно записать в следующем виде:

Возможны и другие варианты.)

VII. Подведение итогов уроков

Домашнее задание

№ 268, 270, 272 (в, г), 275, 277, 279.