Умножение многочлена на многочлен - ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ - МНОГОЧЛЕНЫ

Цель: развить навыки умножения многочлена на многочлен.

Планируемые результаты: научиться перемножать многочлены.

Тип уроков: урок изучения нового материала, урок-практикум.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Работа по теме уроков

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый член одного многочлена на каждый член другого многочлена и полученные произведения алгебраически сложить.

Пример 1

Перемножим многочлены А = 3а – 2b и В = 2а + 3b.

Выполним умножение поэтапно: умножим каждый член, входящий в А, на многочлен В, а затем умножим одночлены на многочлен (в соответствии с указанным правилом). Тогда получаем

Теперь осталось только привести подобные члены: А ∙ В = 6а² + 5ab – 6b² (здесь учтено, что ba = ab).

Заметим, что результатом умножения многочлена на многочлен также является многочлен. При этом если один множитель состоял из m членов, а второй — из n членов, то в произведении (до приведения подобных членов) будет mn членов. Этим можно пользоваться для контроля преобразований. В рассмотренном примере многочлены А и В состояли из двух членов. Поэтому в многочлене 6а² + 9ab – 4bа – 6b² имеется 2 ∙ 2 = 4 члена.

Когда имеется несколько многочленов, умножение выполняется поочередно, при этом после очередного умножения приводятся подобные члены.

Пример 2

Перемножим многочлены А = а – 2b, В = 2а + 3b, С = 3а + b. Перемножим сначала многочлены А и В:

Теперь полученный многочлен умножим на С:

Умножение многочленов используется при преобразовании выражений, решении уравнений, в задачах на делимость чисел и т. д.

Пример 3

Упростим выражение Чтобы преобразовать выражение А, перемножим входящие в него многочлены и приведем подобные члены. Получаем

Пример 4

Решим уравнение

Преобразуем обе части уравнения, перемножая многочлены и приводя подобные члены. Получаем или или или 14х = -16, откуда

Пример 5

Докажите, что при любом натуральном значении п значение выражения кратно 3.

Перемножим многочлены и приведем подобные члены. Получаем

При любом натуральном n значение выражения n² + 2n + 4 является натуральным числом. Поэтому значение выражения А кратно 3 при любом натуральном значении n.

III. Задания на уроках

№ 677 (а-в), 680 (в, г), 682 (а, б), 683 (д—з), 685 (а, б), 686 (а), 687 (а, д), 688.

IV. Контрольные вопросы

— Как перемножить многочлены? Приведите примеры.

— Какое выражение является результатом умножения многочлена на многочлен?

V. Подведение итогов уроков

Домашнее задание

№ 677 (г—е), 680 (д, е), 682 (в, г), 683 (а—г), 685 (в, г), 686 (б), 687 (б, е), 689.