Контрольные и самостоятельные работы по алгебре и геометрии 9 класс - 2016 год

САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ - Урок 3 - ГЕОМЕТРИЯ - ОТВЕТЫ

(по учебнику А.В. Погорелова)

С1

В1. 1. 44°.

2. х = 6, у = 2,5.

3. Доказательство: Пусть ΔА₁В₁С₁ и ΔА₂В₂С₂ подобны. Тогда Пусть ΔА₁В₁С₁ — равнобедренный. Тогда две его стороны равны. Пусть это будут стороны а₁, b₁. То есть а₁ = b₁. (В противном случае стороны можно переобозначить.) Тогда из равенств Это значит, что второй треугольник также равнобедренный. Что и требовалось доказать.

В2. 1. 40°.

2. х = 3, у = 4.

3. Доказательство: Пусть ΔА₁В₁С₁ и ΔА₂В₂С₂ подобны. Тогда Пусть ΔА₁В₁С₁ — равносторонний. Тогда все его стороны равны. То есть а₁ = b₁ = с₁. Тогда из равенств следует а₂ = b₂ = с₂ . Это значит, что второй треугольник также равносторонний. Что и требовалось доказать.

В3. 1. ∠A = 60°; ∠B = 60°; ∠C = 100° ; ∠D = 140°.

2. 12 см; 16 см.

3. Доказательство: Из подобия треугольников следует — коэффициент подобия. Если то Нарушается неравенство треугольника, которое должно быть верным. Получено противоречие. Отсюда Что и требовалось доказать.

В4. 1. ∠А = 130°; ∠B = 50°; ∠C = 70°; ∠D = 110°

2. 5 см; 5 см; 6 см.

3. Доказательство:

Из подобия треугольников следует k — коэффициент подобия. Если то То есть b + c < d. Но, по неравенству треугольника, должно быть b + c > d. Получено противоречие. Отсюда Что и требовалось доказать.

С2

B1. 1. Доказательство: ∠AOB = ∠COD как вертикальные. ∠B = ∠D, значит, треугольники подобны по двум углам. Что и требовалось доказать.

2. Доказательство: По теореме Пифагора 8² + B₁C₁² = 10². Отсюда ∠A = ∠A₁, так как оба угла острые. Треугольники — прямоугольные. Следовательно, треугольники подобны по двум углам. Что и требовалось доказать.

3. Доказательство: Значит, две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны. По признаку подобия треугольников — по двум сторонам и углу между ними — треугольники подобны. У этих подобных треугольников В соответствует Е, А соответствует D. Действительно, угол между сторонами ВА и ВС — это ∠B, а угол между сторонами ED и EF — это ∠E. У подобных треугольников соответствующие углы равны. Поэтому ∠А = ∠D. Что и требовалось доказать.

В2. 1.Доказательство: ∠AOB = ∠COD как вертикальные. (Вертикальными углами, при пересечении двух прямых, называются пары противоположных углов, образованные при пересечении этих прямых.) ∠A = ∠D — по условию. Значит, треугольники подобны по двум углам. Что и требовалось доказать.

2. Ответ: Да. Доказательство: По теореме Пифагора 5² + А₁В₁² = 13². Отсюда Углы В, В₁ — острые. Поэтому ∠B = ∠B₁. Но ∠A = ∠A₁ = 90°. Следовательно, треугольники подобны по двум углам. Что и требовалось доказать.

3. То есть две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника. По условию ∠BAC = ∠NMK. Следовательно, треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними. ВС соответствует NK, АС соответствует МК. Поэтому угол С соответствует углу К. ∠C = ∠K. Что и требовалось доказать.

В3. 1. Доказательство: Треугольники ABD и ВЕС — прямоугольные и имеют общий угол В. Поэтому эти треугольники подобны по двум углам. Значит По двум сторонам и углу между ними треугольники BED и АВС подобны. Что и требовалось доказать.

2. Отсюда Что и требовалось доказать.

3. Доказательство: Два многоугольника по определению подобны, если соответствующие стороны пропорциональны, а соответствующие в утлы равны. По условию так как трапеции прямоугольные. ∠D = ∠D₁, так как острые углы равны. Поэтому как половины равных углов. Прямоугольные треугольники ABD и A₁B₁D₁ подобны по двум углам. ∠CBD = ∠ADB как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AD, ВС. Аналогично ∠C₁B₁D₁ = ∠A₁D₁E₁ как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых А₁D₁, B₁C₁. Поэтому треугольники BCD и B₁C₁D₁ — равнобедренные и подобные по двум углам. Из подобия соответствующих треугольников следует Отсюда То есть соответствующие стороны пропорциональны. Значит, по определению подобия многоугольников, трапеции подобны. Что и требовалось доказать.

В4. 1. Доказательство: Треугольники ABD и ВЕС — прямоугольные и имеют равные углы с вершиной В как вертикальные. Поэтому эти треугольники подобны по двум углам. Сходственные стороны подобных треугольников пропорциональны, поэтому Отсюда ∠DBE = ∠ABC как вертикальные. Треугольники АВС и DBE подобны по двум сторонам и углу между ними. Что и требовалось доказать.

2. Доказательство: Поэтому- По трем сторонам треугольники ACD и АВС подобны. Отсюда Что и требовалось доказать.

3. Доказательство: Два многоугольника подобны, если соответствующие стороны пропорциональны, а соответствующие углы равны. По условию так как трапеции прямоугольные. ∠C = ∠C₁, так как тупые углы равны. так как АС — биссектриса угла С. ∠B₁C₁A₁ = ∠A₁C₁D₁, так как диагональ А₁С₁ — биссектриса тупого угла. ∠BCA = ∠CAD как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD. ΔАВС и ΔА₁B₁C₁ подобны по двум углам. ∠ACB = ∠CAD как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AD, ВС. Аналогично ∠B₁C₁A₁ = ∠C₁A₁D₁ как внутренние накрест лежащие при параллельных Прямых A₁D₁, B₁C₁. Поэтому равнобедренные треугольники ACD и A₁C₁D₁ — подобны по двум углам. Из подобия соответствующих треугольников следует Отсюда То есть соответствующие стороны трапеций пропорциональны. Так как соответствующие углы у двух трапеций равны, то, по определению подобия многоугольников, трапеции подобны. Что и требовалось доказать.

С3

В1. 1. В треугольнике A₁B₁C₁ ∠B₁ = 180° - 140° = 40°. ∠A₁ = 90° - 40° = 50° = ∠А. Треугольники АВС и A₁B₁C₁ прямоугольные. Следовательно, они подобны по двум углам. Что и требовалось доказать.

2. 60/13 см.

3. 64 см.

В2. 1. Доказательство: ∠A₁B₁C₁ = ∠39° как вертикальные углы. В треугольнике A₁B₁C₁ ∠A₁ = 90° - 39° - 51° = ∠A. Треугольники ABC и A₁B₁C₁ прямоугольные. Следовательно, они подобны по двум углам. Что и требовалось доказать.

2. 4 см.

3. 64 см.

В3. 1. Прямоугольные треугольники АОВ₁, ACA₁, ОА₁В, ВСB₁ подобны между собой. Доказательство: Прямоугольные треугольники ОАB₁, A₁АС имеют общий острый угол А. Поэтому они подобны по двум углам. Прямоугольные треугольники A₁OB, АОВ₁ имеют общий острый угол О. Поэтому они подобны по двум углам. Прямоугольные треугольники А₁CА, ВСВ₁ имеют общий острый угол С. Поэтому они подобны по двум углам. Что и требовалось доказать.

2. 60 см.

3. 48 см.

В4. 1. Прямоугольные треугольники АОВ₁, B₁BC, ВA₁О, АА₁C подобны между собой. Доказательство: В прямоугольных треугольниках OBA₁, B₁BC угол при вершине В общий. По двум углам они подобны. В прямоугольных треугольниках ОВА₁, АОВ₁углы АОB₁, BOA₁ равны как вертикальные. По двум углам треугольники ОВA₁, AOB₁ подобны. В прямоугольных треугольниках AOB₁, АА₁Cугол при вершине А общий. По двум углам они подобны. Что и требовалось доказать.

2. 15 см.

3. 84 см.

С4 (дом.)

В1. 1. 6 см, 15 см и 5 см, 2 см.

2. 42 см.

3. 14 см.

4. Доказательство: Так как отношения двух сторон треугольников равны, то пусть Пусть угол между биссектрисами, проведенными к стороне АВ, равен φ. Тогда угол между биссектрисами, проведенными к стороне A₁B₁, тоже равен φ. ∠B + ∠C = ∠B₁ + ∠C₁. Отсюда ∠A = ∠A₁. Треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны по двум сторонам и углу между ними. Что и требовалось доказать.

5. 4:1, считая от вершины А.

В2. 1. 7 см, 10 см и 14 см, 20 см.

2. 6√2 см.

3. 18 см.

4. Доказательство: Пусть в треугольнике АВС СМ — медиана, СН — высота, а в треугольнике А₁В₁С₁ С₁М₁ — медиана, C₁H₁ — высота. Тогда, по условию, ∠HCM = ∠H₁C₁M₁ = а. Так как М, М₁ — центры описанных окружностей, то СМ = MB, C₁M₁ = M₁B₁, треугольники СМВ, С₁М₁В₁ — равнобедренные. Так как внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним, а сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, то 2₁B + а = 90° = 2₁B₁ + а. Отсюда ∠B = ∠B₁. Прямоугольные треугольники АВС и А₁В₁С₁подобны по двум углам. Что и требовалось доказать.

5. 1:1.

В1. 1. 110°. 2. 5 см. 3. 16 см.

В2. 1. 140°. 2. 24 см; 32 см. 3.12 см; 5 см.

В3. 1. 51°. 2. 25 см. 3. 9 см; 7 см.

В4. 1. 35°. 2. 25 см. 3. 2√62 см.

*С6

B1. 1. а) 1:7:10; б) 40°, 55°, 85°.

2. 140°, 90°, 40°, 90°.

3. Доказательство: Центральный угол в два раза больше соответствующего вписанного угла, опирающегося на ту же хорду. Поэтому ∠AOD = ∠DOC = 2β. Если центральные углы равны, то равны и соответствующие хорды, Значит, AD = DC. Треугольник ADC — равнобедренный. Что и требовалось доказать.

4. Пусть m — медиана, h — высота. АС — диаметр окружности радиуса m. Из точки А проводим перпендикуляр АР = h. Из точки Р проводим перпендикуляр до пересечения с окружностью в точке В. Соединяем А с В, В с С. Треугольник АВС — искомый.

5. 240 см.

6. 40°; 140°.

7. 14 см.

8. 7,5 см.

В2. 1. а) 140°; 100°; 120°; б) 55°, 65°, 60°.

2. 140°, 105°, 40°, 75°.

3. Доказательство: Центральный угол в два раза больше соответствующего вписанного угла, опирающегося на ту же хорду. Поэтому ∠AOB = ∠BOC = 2β. Если центральные углы равны, то равны и соответствующие хорды. Значит, АВ = ВС. Треугольник АВС — равнобедренный. Что и требовалось доказать.

4. Пусть q — проекция катета АВ на гипотенузу АС. АС = с — диаметр окружности радиуса R = c/2. Из точки А проводим дугу окружности радиуса q до пересечения с диаметром АС в точке Р. Из точки Р проводим перпендикуляр до пересечения с окружностью в точке В. Соединяем А с В, В с С. Треугольник АВС — искомый.

5. 60 см.

6. 40°.

7. 24 см; 40см.

8. 2 см.

С7

В1. 1. 36 см. 2. 120°. 3. 3,5 см; 4,5 см.

В2. 1. 30 см. 2. 60°. 3. 4 см; 7 см.

В3. 1. √21 см; √61 см. 2. 120°. 3. 48 см.

В4. 1. √57 см; √73 см. 2. 120°. 3. 60 см.

С8

B1. 1. √2.

2. ВС, так как ∠A = 100° — тупой, значит — больший, а против большего угла лежит большая сторона.

3. 8 см.

В2. 1. 45°; 135°.

2. ВС, так как ∠В = 70°, ∠C = 75° и, значит, ∠A = 35° — наименьший, а против меньшего угла лежит меньшая сторона.

3. 20 см.

С9 (дом.)

В1. 1. 120°.

2. 21/11 см; 56/11 см.

3. Доказательство: Из вершины С меньшего основания проведем перпендикуляр на большее основание и диагональ трапеции. Применим теорему Пифагора к двум образовавшимся прямоугольным треугольникам. Имеем:

Что и требовалось доказать.

4. Решение: По теореме косинусов в треугольнике АВС:

По теореме синусов в треугольнике АОВ: Отсюда R_AOB = 2 см. Ответ: 2 см.

5. Доказательство: Из теоремы синусов Достаточно показать, что Имеем ∠AHB = ∠AHK + ∠KHB.

∠KAH — общий острый угол прямоугольных треугольников ABM и АКН. Поэтому ∠AHK = ∠B. Аналогично, ∠KBH — общий острый угол прямоугольных треугольников ABN и КВН. Поэтому ∠KHB = ∠A. Отсюда ∠AHB = ∠AHK + ∠KHB = ∠B + ∠A = 180° - ∠C.

sin∠AHB = sin(180° - ∠C) = sin∠C . Что и требовалось доказать.

В2. 1. 60°.

2. 5,25 см; 8,75 см.

3. Доказательство: AN = а - у. MD = b + х. По теореме Пифагора имеем:

Отсюда

Что и требовалось доказать.

4. Решение:

АВ = 2√7 см. По теореме синусов из треугольника АОВ имеем:

Отсюда R_AOB = 2√7 см. Ответ: 2√7 см.

5. Указание. Покажите, что ∠AHC = ∠A + ∠C. С помощью теоремы синусов докажите, что эти радиусы равны радиусу окружности, описанной вокруг треугольника АВС. Из теоремы синусов следует

Достаточно показать, что sin AHC = sin B, sin BHC = sin A.

Поэтому Поэтому sin AHC = sin B. Аналогично получается Поэтому sin ВНС = sin А. Что и требовалось доказать.

C10

B1. 1. 80°, 90°, 110°, 120°, 140°.

2. 7.

3. Доказательство: Если есть 4 тупых угла, то их сумма больше 360°, но сумма внутренних углов четырехугольника равна 360°. Противоречие. Значит, четырехугольник имеет не более трех тупых углов. Что и требовалось доказать.

В2. 1. 90°, 108°, 126°, 144°, 72°.

2. 7.

3. Доказательство: Сумма внешних углов многоугольника равна 360°. Если есть больше трех тупых углов среди них, то эта сумма больше 90° ∙ 4 = 360°. Противоречие. Что и требовалось доказать.

В3. 1. 50°, 160°, 150°, 50°, 160°, 150°.

2. 240°.

3. Нет. Доказательство: Если сумма шести углов девятиугольника меньше суммы трех оставшихся углов, которую обозначим X, то Тогда сумма трех углов Но сумма трех углов меньше, чем 180° ∙ 3. Противоречие. Что и требовалось доказать.

В4. 1. 131°, 139°, 131°, 139°, 131°, 139°, 131°, 139°.

2. 230°.

3. Нет. Доказательство: Если сумма пяти углов восьмиугольника меньше суммы трех оставшихся углов, которую обозначим X, то Тогда сумма трех углов Но сумма трех углов меньше, чем 180° ∙ 3. Противоречие. Что и требовалось доказать.

С11

B1. 1. 30.

2. 3 см, √3/2 см.

3. Доказательство: Отсекаем от правильного восьмиугольника 4 равнобедренных равных треугольника. Внутри остается четырехугольник из равных сторон — оснований равнобедренных равных треугольников. Так как вершины четырехугольника A₁A₃A₅A₇, то его диагонали равны A₁A₅ = A₃A₇, так как вершины A₁, A₅ — противоположные, и вершины A₁, A₅ — противоположные. Ромб с равными диагоналями — это квадрат. Что и требовалось доказать.

В2. 1. 45.

2. а) 8 см, б) 4√2 см.

3. Доказательство: Так как стороны нового семиугольника являются соответствующими средними линиями соответствующих равных (по первому признаку) треугольников, то все стороны нового семиугольника равны. Так как углы нового семиугольника получаются вычитанием от 180° двух одинаковых острых углов при основании равных треугольников, то все углы нового семиугольника равны.

В3. 1. 12; 15.

2. 1 + √3 см.

3. Доказательство: Диагонали пятиугольника равны как основания равных равнобедренных треугольников. ∠CBP = ∠CDQ = ∠BCP = ∠QCD = ∠QDC как углы при основаниях равных равнобедренных треугольников BCD, АРС, CDE. Треугольники ВСР и CDQ равнобедренные с равными основаниями и углами при них. Поэтому равны. PQ = BD - 2BQ = d - 2c = a₁, где с — сторона звезды. Диагонали пятиугольника равны, стороны звезды равны. Поэтому все стороны внутреннего пятиугольника равны. Треугольники ВРТ, PCQ, QDR, RES, TAS равны по трем сторонам. ∠TPQ = 180° - ∠CPQ. Все углы внутреннего пятиугольника равны, так как ∠CPQ равен углу при основаниях перечисленных пяти равнобедренных треугольников. Все стороны и все углы пятиугольника равны. Поэтому он — правильный. Что и требовалось доказать.