Геометрическая прогрессия - Прогрессии

Цель: рассмотреть последовательность - геометрическую прогрессию.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Найдите сумму тридцати первых членов арифметической прогрессии, заданной формулой a_n = 3n + 2.

2. В арифметической прогрессии а₆ = 1 и а₁₀ = 13. Найдите сумму первых двадцати членов.

3. Найдите сумму всех трехзначных чисел, кратных 4.

Вариант 2

1. Найдите сумму сорока первых членов арифметической прогрессии, заданной формулой а_n = 4n - 3.

2. В арифметической прогрессии а₅ = 3 и а₉ = 15. Найдите суму первых тридцати членов.

3. Найдите сумму всех трехзначных чисел, кратных 3.

III. Изучение нового материала

1. Основные понятия

Рассмотрим еще одну наиболее изученную последовательность - геометрическую прогрессию.

Последовательность чисел b_n, первый член которой отличен от нуля и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же отличное от нуля число q, называется геометрической прогрессией (q - знаменатель прогрессии):

Пример 1

Найдем первые четыре члена геометрической прогрессии, если b₁ = 2, q = 3.

Из определения геометрической прогрессии имеем: при n = 1 при n = 2 при n = 3 Итак, эти члены 2, 6, 18, 54.

Геометрическая прогрессия задается рекуррентной формулой. При решении задач более удобна формула n-го члена.

2. Формула n-го члена геометрической прогрессии

Пример 2

Получим формулу n-го члена геометрической прогрессии. Используем рекуррентную формулу и выпишем (n - 1) равенство:

Перемножим почленно эти равенства. При этом в обеих частях равенства сократится произведение Получаем - формулу n-го члена геометрической прогрессии.

При решении задач, связанных с геометрической прогрессией, удобно выразить члены прогрессии через ее первый член и знаменатель.

Пример 3

Четвертый член геометрической прогрессии больше второго члена на 24, а сумма второго и третьего членов равна 6. Найдем эту прогрессию.

Выразим второй, третий, четвертый члены прогрессии через ее первый член: - и запишем условия задачи: Получим систему нелинейных уравнений: Разделив первое уравнение на второе, найдем: 4 = q - 1, откуда q = 5. Тогда из второго уравнения b₁ = 1/5.

Пример 4

Первый член геометрической прогрессии b₁, b₂, b₃, ... равен единице. При каком значении знаменателя прогрессии величина 4b₂ + 5b₃ имеет минимальное значение?

Выразив второй и третий члены прогрессии через ее первый член и знаменатель: получим: Квадратичная функция S(q) достигает минимального значения при

Пример 5

Пусть x₁ и x₂ - корни уравнения х² - х + a = 0 и х₃, х₄ - корни уравнения х² - 4х + b = 0. Известно, что числа х₁, х₂, х₃, х₄ (в указанном порядке) составляют возрастающую геометрическую прогрессию. Решим уравнения и найдем числа a, b.

Для данных квадратных уравнений запишем формулы Виета:

Рассмотрим сначала первое и третье уравнения этой системы и учтем, что Тогда получим: или Разделив второе уравнение на первое, найдем: q² = 4, откуда q = 2 и q = -2 (не подходит, так как прогрессия возрастающая, т. е. q > 0). Из первого уравнения получаем: тогда Из второго и четвертого уравнений исходной системы находим: и Итак,

3. Формула суммы членов конечной геометрической прогрессии

Сумма n первых членов вычисляется по формуле или

Пример 6

Получим формулу для вычисления суммы n первых членов геометрической прогрессии.

Рассмотрим сумму n первых членов прогрессии:

Умножим эту величину на q и получим: Учитывая определение геометрической прогрессии запишем это же равенство:

Вычтем из соотношения (2) выражение (1), тогда в правой части сокращаются члены b₂, b₃, ..., b_n, и получаем: откуда (разумеется, для q ≠ 1). Учитывая, что из этого выражения находим: Итак,

Если знаменатель q = 1, то геометрическая прогрессия состоит из одинаковых членов b₁. Тогда сумма первых n членов такой прогрессии равна S_n = nb₁.

Пример 7

Найдем сумму первых восьми членов геометрической прогрессии, второй член которой равен 6, а четвертый равен 24.

Сначала определим характеристики геометрической прогрессии. Используя формулу n-го члена, запишем условия задачи: Разделив второе уравнение на первое, получим: q² = 4, откуда q = ±2. Для q = 2 найдем и сумму Для q = -2 получаем: b₁ = -2 и сумму

Пример 8

Сумма первого и пятого членов геометрической прогрессии равна 51, а сумма второго и шестого членов равна 102. Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, нужно сложить, чтобы их сумма была равна 3069?

Найдем характеристики геометрической прогрессии. Используя формулу n-го члена, запишем условия задачи: или Разделив второе уравнение на первое, получим: Из первого уравнения найдем

Предположим, что сложили n членов прогрессии и получили сумму По условию такая сума равна 3069. Имеем уравнение: 3(2ⁿ - 1) = 3069, или 2ⁿ - 1 = 1023, или 2ⁿ = 1024 = 2¹⁰, откуда n = 10. Итак, нужно сложить десять первых членов прогрессии.

Пример 9

Решим уравнение 1 + 2 + 4 + 8 + ... + х = 255.

В левой части уравнения находится сумма геометрической прогрессии с первым членом 1, знаменателем 2. Пусть число слагаемых равно n. Тогда эта сумма равна: отсюда: 2ⁿ = 256 = 2⁸. Так как х является n-м членом прогрессии, то х = 1 ∙ 2^n-1 = 2^8-1 = 2⁷ = 128.

Очень распространен круг задач, где для суммирования чисел и алгебраических выражений используется сумма геометрической прогрессии.

Пример 10

Найдем сумму

Возведем в квадрат слагаемые этой суммы и получим: Перейдем к отрицательным показателям степени и сгруппируем слагаемые, входящие в S: Каждая из трех скобок содержит по п слагаемых. Причем первая скобка содержит сумму геометрической прогрессии с первым членом х² и знаменателем х²; вторая - сумму геометрической прогрессии с первым членом х^-2 и знаменателем х^-2; третья - сумму чисел 2. Учитывая это, получим:

Пример 11

Найдем сумму

Умножим и разделим сумму на 9:

Сгруппируем слагаемые суммы: Первая скобка представляет собой сумму геометрической прогрессии с первым членом 10 и знаменателем 10. Учитывая это, получим:

Пример 12

При любом п сумма S_n членов некоторой последовательности (b_n) находится по формуле: S_n = 6 ∙ 3ⁿ - 2. Докажем, что эта последовательность не является геометрической прогрессией, и найдем пять первых членов этой последовательности.

Как и в примере 3, воспользуемся определением геометрической прогрессии. Найдем сначала формулу n-го члена данной последовательности (b_n). Очевидно, что

Найдем отношение двух соседних членов этой последовательности: откуда Казалось бы, данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем 3. Однако выражение для справедливо только для n ≥ 2 (так как при n = 1 величина S_n-1 не существует). Поэтому выражение для будет справедливо уже при n ≥ 3 (так как при n = 2 величина b_n-1 не описывается полученной формулой).

Итак, из приведенных рассуждений видно, что при n > 2 члены последовательности описываются соотношением и по этой формуле находим: b₂ = 36, b₃ = 108, b₄ = 324, a₅ = 972. Легко проверить, что Для нахождения b₁ учтем, что при n = 1 сумма S_n состоит всего из одного члена b₁ и b₁ = S₁ = 6 ∙ 3 – 2 = 16. Видно, что

Таким образом, последовательность не является геометрической прогрессией. Первые пять ее членов, соответственно, равны 16; 36; 108; 324; 972.

Если |q| < 1, то прогрессия называется бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Для нее, разумеется, как и для любой геометрической прогрессии, справедливы свойства и формулы, приведенные выше. Кроме того, можно вычислить сумму бесконечного числа членов такой прогрессии по формуле

Пример 13

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 4, а сумма кубов ее членов равна 192. Найдем эту прогрессию. Пусть дана прогрессия Тогда ее сумма Кубы членов данной прогрессии также образуют геометрическую прогрессию с первым членом b₁³ и знаменателем q³. Так как при |q| < 1 величина |q³| = |q|³ < 1, то эта прогрессия также бесконечно убывающая и ее сумма: Получаем систему нелинейных уравнений: Для решения этой системы возведем первое уравнение в куб: - и разделим второе уравнение системы на полученное уравнение: или 2q² + 5q + 2 = 0. Корни этого уравнения q = 1/2 и g = -2 (не подходит, так как прогрессия бесконечно убывающая и |q| < 1). Теперь из первого уравнения находим

Понятие бесконечно убывающей геометрической прогрессии позволяет обращать десятичные бесконечные периодические дроби в обыкновенные.

Пример 14

Обратим десятичную дробь 0,(17) в обыкновенную.

Запишем дробь в виде Таким образом, число 0,(17) является сумой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой Эта сумма равна Итак,

Заметим, что возможно и другое решение. Пусть дробь 0,(17) = х, т. е. х = 0,1717... . Учитывая, что период этой дроби содержит две цифры, умножим величину х на 100: 100х = 17,1717... . Вычтем из 100x величину х и получим: 100х - х = 17,1717 - 0,1717 = 17. Для нахождения х имеем линейное уравнение: 99х = 17, откуда х = 17/99.

Пример 15

Сторона квадрата равна а. Середины сторон этого квадрата соединим отрезками. Получился новый квадрат. С этим квадратом поступили так же, как и с данным, и т. д. Найдем суммы сторон, периметров и площадей всех этих квадратов.

Обозначим стороны этих квадратов (начиная с данного): а, а₂, a₃, ... . Рассмотрим прямоугольный равнобедренный ΔАВС: Запишем для него теорему Пифагора: ВС² = АВ² + АС² или откуда Аналогично из прямоугольного ΔDEC находим: и т. д.

Таким образом, стороны квадратов образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию: у которой первый член а и знаменатель . Найдем ее сумму:

Так как периметр квадрата 4а, то периметры приведенных квадратов также образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом 4а и знаменателем, поэтому ее сумма

Площадь квадрата а² и площади квадратов образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом а² и знаменателем 1/2, поэтому сумма площадей

Итак, сумма сторон а(2 + √2), периметров - 4а(2 + √2), площадей - 2а².

4. Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Отметим еще одно важное свойство членов геометрической прогрессии. Квадрат любого члена прогрессии (начиная со второго) равен произведению соседних членов: (характеристическое свойство).

Пример 16

Докажем характеристическое свойство членов геометрической прогрессии.

Используя определение геометрической прогрессии, запишем:

При решении задач часто используется характеристическое свойство геометрической прогрессии.

Пример 17

При каких значениях х числа: (х - 2); х; (х + 3) образуют геометрическую прогрессию?

Для решения этой задачи воспользуемся свойством геометрической прогрессии: квадрат члена прогрессии равен произведению членов с ним соседних. Так как ничего не сказано о порядке следования чисел, то в качестве среднего числа необходимо рассмотреть каждое из данных чисел.

а) Пусть (х - 2) - среднее по порядку число. Запишем свойство прогрессии: (х - 2)² = х(х + 3), откуда х = 4/7 и имеем прогрессии: (знаменатель равен -5/2) или (знаменатель равен -2/5 ).

б) Пусть х - среднее из чисел. Тогда х² = (х - 2)(х + 3), откуда х = 6. Получаем прогрессии: 4; 6; 9 (знаменатель 3/2) или 9; 6; 4 (знаменатель 2/3).

в) Пусть (х + 3) — среднее из чисел. Тогда (х + 3)² = х(х - 2), откуда х = -9/8. Находим прогрессии: (знаменатель -5/3) или (знаменатель -3/5).

Итак, при данные числа образуют геометрическую прогрессию.

5. Прогрессии и банковские расчеты

В настоящее время в России сложилась разветвленная банковская система, которая, в частности, предлагает населению различные виды вкладов. Пусть в банк внесен вклад а руб. под р% годовых сроком на t лет. Получение дохода по вкладу возможно двумя способами:

1) ежегодное снятие процентов по вкладу в размере руб.;

2) получение вклада вместе с процентами в конце срока хранения (капитализация вклада).

Разумеется, во втором случае доход от вклада будет больше, так как р% начисляется от постоянно увеличивающейся суммы вклада. Рассмотрим, как меняется вклад в каждом случае.

Сначала обсудим первый способ получения дохода. В конце каждого года за счет процентов добавляется руб. Поэтому итоговая сумма денег в конце каждого составляет соответственно: Итак, через t лет вместо начального вклада а руб. будет получено руб. - формула простых процентов. При этом ежегодно итоговая сумма увеличивается по закону арифметической прогрессии.

Рассмотрим второй способ получения дохода. В конце первого года получаемая сумма (как и в первом случае) составит руб. При этом сумма вклада увеличится в раз. Подобное увеличение вклада будет и в последующие годы: Видно, что итоговая сумма возрастает по закону геометрической прогрессии. Итак, через t лет вместо первоначального вклада а руб. будет получено руб. - формула сложных процентов.

Пример 18

Пусть сумма вклада а = 100000 руб., срок вклада t = 3 года, годовая ставка р = 5 %, 10 %, 20 %. Сравним итоговую сумму, получаемую по первому (руб.) и второму ( руб.) способам. Эти суммы приведены в таблице.

р %	5	10	20
I способ	115000	130000	160000
II способ	115762	133100	172800
Разность	762	3100	12800

В последней строке приведена разность в доходах при получении их по второму и первому способам.

Пример 19

Пусть сумма вклада а = 100000 руб., годовая ставка р = 10%. Срок вклада t = 1, 2, 3 года. Сравним итоговую сумму, получаемую по первому и второму способам. Эти суммы приведены в таблице.

t %	1	2	3
I способ	110000	110000	130000
II способ	110000	121000	133100
Разность	0	1000	3100

Из двух последних примеров следует:

1) второй способ получения дохода (с капитализацией вклада) всего более выгоден, чем первый (что очевидно);

2) выгода использования второго способа становится тем больше, чем больше сумма первоначального вклада а, выше процентная ставка р и больше срок хранения вклада t.

IV. Контрольные вопросы

1. Определение геометрической прогрессии.

2. Формула n-го члена геометрической прогрессии.

3. Характеристическое свойство геометрической прогрессии.

4. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии.

5. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

6. Формулы простых и сложных процентов.

V. Задание на уроках

§ 17, № 1 (а, б); 2; 10 (в); 13 (а); 15 (а, б); 16 (а); 17 (в, г); 22 (б); 26 (г); 28 (а); 33; 37 (а, б); 40 (а); 43; 48 (а, б); 51; 57.

VI. Задание на дом

§ 17, № 1 (в, г); 3; 10 (г); 13 (б); 15 (в, г); 16 (б); 17 (а, б); 22 (в); 26 (в); 28 (б); 34; 37 (в, г); 40 (б); 44; 48 (в, г); 52; 58.

VII. Подведение итогов уроков