Уравнения и системы уравнений - Итоговое повторение

Цель: рассмотреть основные типы уравнений и систем уравнений.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа)

Вариант 1

1. Найдите область определения функции

2. Найдите область значений функции у = -3х² + 6х - 5.

3. Постройте график функции у = 2х - 1 + |х - 2|.

Вариант 2

1. Найдите область определения функции

2. Найдите область значений функции у = -2x² + 8х - 7.

3. Постройте график функции у = 2х + 2 + |х + 4|.

III. Повторение пройденного материала

Линейные уравнения ax + b = 0

Члены уравнения, зависящие от неизвестной х, группируют в одной части, числа - в другой, т. е. ах = -b. Далее возможен один из трех случаев.

а) Если а ≠ 0, то уравнение имеет единственный корень

б) Если а = 0 и b = 0, то уравнение имеет бесконечное множество решений х ∈ (-∞; +∞).

в) Если а = 0 и b ≠ 0, то уравнение корней не имеет.

Квадратные уравнения ах² + bх + с = 0 (а ≠ 0)

При решении квадратных уравнений важнейшей характеристикой является дискриминант D = b² - 4ас. Для D < 0 уравнение корней не имеет, при D = 0 имеет один корень при D > 0 – два различных корня Для корней х₁ и х₂ квадратного уравнения выполняются формулы Виета:

Уравнения высокой степени

Для решения уравнений высоких степеней используют два основных приема:

а) подбор корня уравнения среди делителей свободного члена и понижение степени уравнения;

б) использование замены переменной.

Рациональные уравнения

При решении таких уравнений прежде всего находят область допустимых значений (ОДЗ) неизвестной. Затем умножают члены уравнения на наименьший общий знаменатель дробей и получают целое уравнение. Решают уравнение и находят его корни. Исключают решения, не входящие в ОДЗ данного уравнения. Оставшиеся корни будут решениями исходного уравнения.

Иррациональные уравнения

Для решения подобных уравнений необходимо избавиться от знаков корня (радикалов). Для этого применяют два основных способа:

а) поочередное уединение радикалов и возведение частей уравнения в соответствующую степень;

б) использование новой переменной.

При решении иррациональных уравнений очень часто возникают посторонние корни. Поэтому все найденные решения необходимо проверить, например, подстановкой в исходное уравнение.

Системы линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений трудностей не вызывает. При этом используются способ алгебраического сложения уравнений, способ подстановки, способ сравнения. Если в системе одно уравнение линейное, то из него можно выразить одну переменную через другую и использовать способ подстановки.

Системы нелинейных уравнений

В случае системы нелинейных уравнений необходимо получить одно линейное уравнение. Наиболее типичны системы симметричных уравнений и системы однородных уравнений.

В симметричной системе уравнения не меняются при замене переменных друг на друга Для их решения используются новые переменные а = х + у и b = xу.

Системы уравнений, у которых левая часть одного из уравнений является однородным многочленом, а правая часть равна нулю или у которых левые части двух уравнений являются однородными многочленами, а правые части равны некоторым числам, называются однородными системами уравнений. При решении таких систем из однородного уравнения находят связь между неизвестными.

IV. Задание на уроках

№ 1, 3, 8, 14, 18, 26, 32, 34, 38, 46, 50, 56, 62, 66, 70, 74, 76, 78, 82, 84, 86, 88.

V. Задание на дом

№ 2, 4, 9, 15, 19, 27, 33, 35, 40, 47, 51, 57, 63, 67, 71, 75, 77, 79, 83, 85, 87, 89.

VI. Подведение итогов уроков