Итоги контрольной работы - Рациональные неравенства и их системы

Цели: сообщить результаты контрольной работы; рассмотреть типичные ошибки; разобрать трудные задачи.

Ход урока

I. Сообщение темы и целей урока

II. Итоги контрольной работы

1. Распределение работ по вариантам и результаты решения. Данные о результатах работы удобно заносить в таблицу (для каждой пары вариантов).

№ задачи Итоги	1	2	3	...	6
+	5
±	1
-	1
Ø	1

Обозначения:

+ - число решивших задачу правильно или почти правильно;

± - число решивших задачу со значительными ошибками;

- - число нерешивших задачу;

Ø - число нерешавших задачу. Вариант 1, 2 - 8 учеников.

2. Типичные ошибки, возникшие при решении задач.

3. Наиболее трудные задачи и их разбор (учителем или школьниками, сделавшими эту задачу).

4. Разбор всей контрольной работы (поместить на стенд ответы к заданиям вариантов и разобрать наиболее трудные варианты).

III. Ответы и решения

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

1. Из равенства 3х + 2у = 6 выразим переменную С учетом геометрического смысла модуля неравенство |х| ≤ 8 равносильно неравенству -8 ≤ х ≤ 8. Умножим все части этого неравенства на отрицательное число (-1,5). При этом знаки неравенства меняются на противоположные. Получаем: 12 ≥ -1,5x ≥ -12. Прибавим ко всем частям неравенства число 3. Имеем: 15 ≥ 3 - 1,5x ≥ -9, т. е. у ∈ [-9; 15].

Ответ: у ∈ [-9; 15].

2. По определению квадратный корень - величина неотрицательная. Поэтому данное неравенство выполнено, если х входит в ОДЗ. Эта область задается неравенством решение которого x ∈ [-5; -1)U[6; +∞).

Ответ: х ∈ [-5; -1)U[6; +∞).

3. Перенесем все члены неравенства в левую часть и запишем его в виде (х - 3)(3х² – х - 4)² ≥ 0. Выражение (3х² – х - 4)² обращается в нуль при x₁ = -1 и х₂ = 4/3 (и эти числа - решения неравенства). При остальных х выражение (3х² – х - 4)² ≥ 0. Поэтому при таких х неравенство равносильно неравенству х - 3 ≥ 0, решение которого x ≥ 3. Решение данного неравенства состоит из двух отдельных точек и промежутка

Ответ:

4. Решим каждое неравенство системы Тогда решение системы неравенств - промежуток х ∈ (3; а - 5). Необходимо, чтобы в этот промежуток попали ровно три целых числа: 4; 5; 6. Получаем условие: 6 < а - 5 ≤ 7, откуда 11 < а ≤ 12.

Ответ^-, а ∈ (11; 12].

5. Выделим полные квадраты по переменным x и у: x² – 4x + 7 = (x - 2)² + 3 ≥ 3 и у² + 2у + 10 = (у + 1)² + 9 ≥ 9. Неравенства одного знака с положительными частями можно умножить. При этом знак неравенства сохраняется. Получаем: (х² - 4х + 1)(у² + 2у + 10) ≥ 3 ∙ 9 или (x² – 4x + 1)(у² + 2у + 10) ≥ 27. Видно, что данное неравенство выполняется только при x = 2 и у = -1.

Ответ: (2; -1).

6. Найдем корни квадратного трехчлена x² - (3а + 1)x + 2а² + 2а. Эти корни x₁ = 2a и x₂ = а + 1. Изобразим зависимости x₁ и х₂ от а. Корни x₁ = х₂ = 2 при а = 1. Очевидно, что данное неравенство выполняется в промежутках, расположенных за корнями x₁ и x₂. Поэтому получаем ответ: при а < 1 при а = 1 х ∈ (-∞; +∞), при а > 1

Вариант 6

1. Из равенства 4x + 3у = 8 выразим переменную С учетом геометрического смысла модуля неравенство |y| ≤ 12 равносильно неравенству -12 ≤ у ≤ 12. Умножим все части этого неравенства на отрицательное число (-3/4). При этом знаки неравенства меняются на противоположные. Получаем: Прибавим ко всем частям неравенства число 2. Имеем: т. е. х ∈ [-7; 11].

Ответ: х ∈ [-7; 11].

2. По определению квадратный корень - величина неотрицательная. Поэтому данное неравенство выполнено, если х входит в ОДЗ. Эта область задается неравенством решение которого х ∈ [-7; 1) U [6; +∞).

Ответ: х ∈ [-7; 1)U[6; +∞).

3. Перенесем все члены неравенства в левую часть и запишем его в виде (х - 5)(2х² - х - 3)² ≥ 0. Выражение (2x² - x - 3)² обращается в нуль при х₁ = -1 и х₂ = 1,5 (и эти числа - решения неравенства). При остальных х выражение (2x² - х - 3)² > 0. Поэтому при таких x неравенство равносильно неравенству x - 5 ≥ 0, решение которого х ≥ 5. Решение данного неравенства состоит из двух отдельных точек и промежутка х ∈ {-1; 1,5}U[5; +∞).

Ответ: х ∈ {-1; 1,5}U[5; +∞).

4. Решим каждое неравенство системы Тогда решение системы неравенств - промежуток х ∈ (-3; a + 3). Необходимо, чтобы в этот промежуток попали ровно три целых числа: -2; -1; 0. Получаем условие: 0 < a + 3 ≤ 1, откуда -3 < a ≤ -2.

Ответ: а ∈ (-3; - 2].

5. Выделим полные квадраты по переменным х и у: и Неравенства одного знака с положительными частями можно умножить. При этом знак неравенства сохраняется. Получаем: или Видно, что данное неравенство выполняется только при х = 1 и у = -2.

Ответ: (1; -2).

6. Найдем корни квадратного трехчлена Эти корни x₁ = а и х₂ = 2а + 1. Изобразим зависимости x₁ и х₂ от а. Корни х₁ = х₂ = -1 при а = -1. Очевидно, что данное неравенство выполняется в промежутке, расположенном между корнями х₁ и х₂. Поэтому получаем ответ: при а < -1 х ∈ [2а + 1; а], при а = -1 х = -1, при а > -1 х ∈ [а; 2а +1].

Ответ: при а ∈ (-∞; -1) х ∈ [2a + 1; а], при а = -1 х = -1, при a ∈ (-1; +∞) х ∈ [а;2а + 1].