Алгебра и начала анализа 10 класс поурочные планы по учебнику Мордковича А. Г.

Синус, косинус и тангенс суммы и разности аргументов (обобщенное занятие) - Преобразование тригонометрических выражений - 1-е полугодие

К сожалению, после изучения глав 2 и 3 приходится признать, что пока мы в состоянии выполнять только простейшие преобразования тригонометрических выражений, решать самые простые тригонометрические уравнения и неравенства. Поэтому необходимо продолжить изучение основных тригонометрических формул. Учитывая, что формул достаточно много и они запоминаются с трудом, самые необходимые формулы (как и ранее) будем нумеровать. При этом будем придерживаться общей нумерации (три первые формулы уже пронумерованы).

Уроки 41-42. Синус, косинус и тангенс суммы и разности аргументов (обобщенное занятие)

Цель: рассмотреть формулы сложения.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Изучение нового материала

Главу начнем с рассмотрения формул для синуса и косинуса суммы и разности аргументов (их также называют формулы сложения). Обратите особое внимание на эти формулы, так как из них достаточно просто могут быть получены практически все формулы тригонометрии.

Пример 1

Получим формулу (4).

В единичной окружности радиус ОР (равный 1) повернем на угол х и на угол у. Получим радиусы ОА и ОВ. Легко записать координаты векторов Найдем скалярное произведение этих векторов:

С другой стороны, Поэтому скалярное произведение векторов можно записать и по-другому:

Сравнивая два полученных выражения для скалярного произведения векторов , сразу получаем: Формулы (5)-(7) получаются из формулы (4) с использованием формул приведения и четности функции cos х и нечетности функции sin х.

Пример 2

Получим пятую формулу.

Учтем формулы (7) и (5). Имеем: В полученной дроби разделим числи тель и знаменатель дроби на cos х cos у. Тогда имеем:

Итак, получили Аналогично выводится и шестая формула.

Теперь рассмотрим применение формул этой группы.

Пример 3

Вычислим cos 15°.

Учтем, что 15 = 45 - 30, и тогда

Таким образом, приведенные формулы позволяют расширить значения тригонометрических функций, представленных ранее в таблице.

Пример 4

Найдем если

Используем формулу (6) и получим: Найдем sin а. Используя формулу (1), получаем: sin2 a + c2 = 1, откуда (учтено, что и sin а > 0). Тогда

Пример 5

Докажем неравенство если

Выпишем очевидные неравенства cos β sin a < sin a (так как cos β < 1) и cos a sin β < sin β (так как cos a < 1). Сложим два неравенства одного знака (при этом получившееся неравенство имеет тот же знак): cos β sin a + cos a sin β < sin a + sin β или по формуле (7)

Пример 6

Известно, что a, β, γ - углы треугольника. Докажем, что

Учитывая, что a, β, γ — углы треугольника, имеем: a + β + γ = 180, откуда γ = 180° - (a + β).

Упростим выражение cos γ: cosy

Здесь учтено, что cos 180° = -1 и sin 180° = 0 (что видно из единичной окружности). Тогда Tаким образом, тождество доказано.

Пример 7

В каких пределах находится отношение суммы катетов к гипотенузе в прямоугольном треугольнике?

Пусть в прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза АВ = с и один из острых углов ∠А = а. Тогда через эти величины легко выразить катеты Найдем отношение суммы катетов к гипотенузе: Преобразуем выражение x, умножив и разделив его на Получим: Здесь при преобразовании выражения х было учтено, что

Так как a – острый угол в треугольнике, то Прибавим ко всем частям этого неравенства π/4 и получим: Для удобства обозначим Тогда необходимо найти диапазон изменения величины

Диапазон этих углов отмечен на единичной окружности штриховкой (пунктир показывает, что значения углов не достигаются). Понятно, что наименьшее значение х получается при и равно

Наибольшее значение x достигается при z = π/2 и равно Итак, отношение суммы катетов к гипотенузе меняется в пределах

Пример 8

Докажем, что функция у = ctg х убывает на промежутках (πn; π + πn), где n ∈ Z.

Данное утверждение достаточно доказать для промежутка (0; π). Используя определение убывающей функции и функции котангенса, получим: Определим знак этого выражения. Так как 0 < x1 < х2 < π, то sin x1 > 0 и sin х2 > 0. Поэтому знаменатель дроби положительный. Из неравенства находим -π < x1 - х2 < 0, тогда sin(x1 - х2) < 0. Поэтому дробь отрицательная, т. е. у(х1) - у(х2) < 0 или y(x1) < у(х2). Следовательно, на указанных промежутках функция у = ctg х убывает.

Пример 9

Найдем

Обозначим а = arcsin 1/3, тогда по определению sin a = 1/3 и Найдем (учтено, что cos a ≥ 0). Аналогично обозначим β = arcos 2/3, тогда cos β = 2/3 и β ∈ [0; π]. Вычислим (учтено, что sin β ≥ 0).

Найдем:

Пример 10

Вычислим

Обозначим a = arctg 1/2 (тогда ) и β = arctg 1/3 (тогда ). Найдем сумму углов a + β. Сразу найти такую сумму нельзя. Поэтому вычислим любую тригонометрическую функцию от суммы углов. Проще всего найти тангенс. Учитывая известную формулу, получим: