Итоги контрольной работы - урок 3 - СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКОГО КВАДРАТНОГО КОРНЯ - КВАДРАТНЫЕ КОРНИ

Цели: сообщить результаты работы, рассмотреть наиболее типичные ошибки, разобрать трудные задачи.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Итоги контрольной работы

1. Распределение работ по вариантам и результатам решения. Данные о результатах работы удобно заносить в таблицу (для каждой пары вариантов).

№ задачи Итоги	1	2	3	...	6
+	5
±	1
—	1
Ø	1

Обозначения:

+ — число решивших задачу правильно или почти правильно.

± — число решивших задачу со значительными ошибками; .

— — число не решивших задачу;

Ø — число не решавших задачу. Вариант 1, 2 — 8 учеников.

2. Типичные ошибки, возникшие при решении задач.

3. Наиболее трудные задачи и их разбор (учителем или школьниками, сделавшими эту задачу).

4. Разбор всей контрольной работы (вывесить на стенде ответы к заданиям вариантов и разбор наиболее трудных вариантов).

III. Ответы и решения

Вариант 1

1. Ответ: .

2. Ответ: -110. .

3. Ответ: а) х = 5; б) х ≥ -2.

4. Ответ: -3а7. .

5. Ответ: х ≥ 0, х ≠ 9.

Вариант 2

1. Ответ: .

2. Ответ: 53. .

3. Ответ: а) х = 8; б) х ≥ 2.

4. Ответ: -3а5. .

5. Ответ: х ≥ 0, х ≠ 16.

Вариант 3

1. Ответ: .

2. Ответ: -214.

3. Ответ: а) х1 = -1, х2 = 5; б) х ≥ 1. .

4. Ответ: 3а5.

5. Ответ: х ≥ 1, х ≠ 5.

Вариант 4

1. Ответ: .

2. Ответ: -112.

3. Ответ: а) х1 = -1, х2 = 7; б) х ≥ 2.

4. Ответ: 5а5. .

5. Ответ: х ≥ 2, х ≠ 11.

Решения

Вариант 5

1. Учтем свойства квадратного корня и формулу разности квадратов. Тогда получаем:

Ответ: 6.

2. В подкоренном выражении выделим полный квадрат суммы:

Имеем: Учтено, что

Ответ: 6.

3а). Учтем, что подкоренное выражение является полным квадратом разности. Тогда получаем: 2х + |х - 2| = 7. Раскроем знак модуля, рассмотрев два случая.

а) Если х - 2 ≥ 0 (т. е. х ≥ 2), то |x – 2| = х - 2 и уравнение имеет вид: 2х + х - 2 = 7 или 3х = 9, откуда х = 3. Этот корень, действительно, удовлетворяет условию х ≥ 2.

б) Если х - 2 < 0 (т. е. х < 2), то |х - 2| = -(х + 2) = -х + 2 и уравнение имеет вид: 2х - х + 2 = 7 , откуда х = 5. Но этот корень не удовлетворяет условию х < 2 и не является решением уравнения.

Ответ: х = 3.

3б). Очевидно, что левая часть неравенства представляет собой сумму трех корней с положительными коэффициентами и является величиной неотрицательной. Поэтому неравенство выполняется, если подкоренные выражения неотрицательны: х - 1 ≥ 0, x ≥ 0, x + 1 ≥ 0. Решая эти неравенства, получим, соответственно: x ≥ 1, x ≥ 0, x ≥ -1. Следовательно, решение всех трех неравенств х ≥ 1.

Ответ: х ≥ 1.

4. Учтем свойства квадратного корня и натуральных степеней. Получаем.

Было учтено, что а < 0 и |3a| = -3а, |4a2| = 4a2. Теперь раскроем знак модуля.

а) Если а + 1 < 0 (т. е. а < -1), то |а + 1| = -(a + 1) и выражение

б) Если а + 1 ≥ 0 (т. е. -1 ≤ а < 0), то |a + 1| = a + 1 и выражение

Ответ: при а < -1 5а2 - а4; при -1 ≤ а < 0 7а5 + а4.

5. Выражение будет иметь смысл, если подкоренное выражение неотрицательно и знаменатели дробей не равны нулю, т. е. x - 1 ≥ 0; Соответственно, решим эти неравенства: х ≥ 1; х ≠ 5; х ≠ ±2. Однако значение х = -2 в область x ≥ 1 не попадает. Поэтому допустимые значения переменной в данном выражении: х ≥ 1, х ≠ 5, х ≠ 2.

Ответ: х ≥ 1, х ≠ 5, х ≠ 2.

Вариант 6

1. Учтем свойства квадратного корня и формулу разности квадратов. Тогда получаем:

Ответ: 7.

2. В подкоренном выражении выделим полный квадрат суммы:

Имеем: Учтено, что

Ответ: 5.

3а). Учтем, что подкоренное выражение является полным квадратом разности. Тогда получаем: 3х + |х - 3| = 5. Раскроем знак модуля, рассмотрев два случая.

а) Если х - 3 ≥ 0 (т. е. х ≥ 3), то |х - 3| = х - 3 и уравнение имеет вид: 3х + х - 3 = 5 или 4х = 8, откуда х = 2. Но этот корень не удовлетворяет условию х > 3 и не является решением уравнения.

б) Если х - 3 < 0 (т. е. х < 3), то |х - 3| = -(х - 3) = -х + 3 и уравнение имеет вид: 3х - х + 3 = 5 или 2х = 2, откуда х = 1. Этот корень, действительно, удовлетворяет условию х < 3.

Ответ: х = 1.

3б). Очевидно, что левая часть неравенства представляет собой сумму трех корней с положительными коэффициентами и является величиной неотрицательной. Поэтому неравенство выполняется, если подкоренные выражения неотрицательны: х – 2 ≥ 0, х ≥ 0, х + 2 ≥ 0. Решая эти неравенства, получим, соответственно: х ≥ 2, х ≥ 0, х ≥ -2. Следовательно, решение всех трех неравенств х ≥ 2.

Ответ: х ≥ 2.

4. Учтем свойства квадратного корня и натуральных степеней. Получаем: Было учтено, что а < 0 и |9а3| = -9a3, |4а4| = 4а4. Теперь раскроем знак модуля.

а) Если а + 2 < 0 (т. е. а < -2), то |a+2| = -(а + 2) и выражение

б) Если а + 2 ≥ 0 (т. е. -2 ≤ а < 0), то |а + 2| = а + 2 и выражение

Ответ: при а < -2 -12а5 - 2а4; при -2 ≤ а < 0 -10а5 + 2а4.

5. Выражение будет иметь смысл, если подкоренное выражение неотрицательно и знаменатели дробей не равны нулю, т. е. х - 2 ≥ 0; Соответственно, решим эти неравенства: х ≥ 2; х ≠ 11; х ≠ ±4. Однако значение х = -4 в область х ≥ 2 не попадает. Поэтому допустимые значения переменной в данном выражении: х ≥ 2, х ≠ 11, х ≠ 4.

Ответ: х ≥ 2, х ≠ 11, х ≠ 4.