Зачетная работа по теме «Квадратные уравнения» - ДРОБНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ - КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Цель: проверка знаний учащихся по вариантам одинаковой сложности.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Характеристика зачетной работы

По сравнению с контрольной работой в зачетной увеличено количество заданий. Соответственно у учащихся возрастает возможность выбора задач. Все задания разбиты на три блока А, В и С. Самые простые задачи находятся в части А, более сложные — в части В, еще сложнее — в части С. Каждая задача из А оценивается в 1 балл, из В — в 2 балла, из С — в 3 балла. Поэтому за правильное решение всех задач блока А можно получить 7 баллов блока В — 8 баллов и блока С — 9 баллов (всего 24 балла). Оценка «3» ставится за 6 баллов, оценка «4» — за 10 баллов, оценка «5» — за 14 баллов.

Так как эта работа является зачетной, то в нее не включены принципиально новые задачи. Поэтому разбор заданий работы можно и не проводить (решения задач могут быть вывешены на стенде). Для стендового размещения разбор заданий приводится.

III. Задания зачетной работы

ЗР-З

A.

Решите уравнение:

I. 2х2 - 6 = 0. .

2. 3х2 + 5х = 0. .

3. -7х2 = 0.

4. 3х2 – х - 2 = 0.

5. Графически решите уравнение х2 = x + 1.

6. Турист проехал на моторной лодке 25 км вверх по реке, а обратно спустился на плоту. В лодке он плыл на 10 ч меньше, чем на плоту. Найдите скорость течения, если скорость лодки в стоячей воде 12 км/ч.

7. Уравнение 2х2 + 5х + 1 = 0 имеет корни х1 и х2. Найдите значение выражения х1х22 + х12х2.

B.

Решите уравнение:

8. 2х2 - 1999х + 1997 = 0. .

9. 4х2 - 7ax + 3a2 = 0.

10. Уравнение 3х2 + 5х + 1 = 0 имеет корни х1 и х2. Найдите значение выражения

11. Известно, что х1 и х2 — корни уравнения х2 - 8х + a = 0 и 3x1 + 4x2 = 29. Найдите значение а и корни уравнения.

C.

Решите уравнение:

12. (a - 3)х2 + ах – 2x + 3 = 0.

13.

14. Аналитически и графически решите уравнение |х - 1| = х2.

IV. Разбор заданий зачетной работы

1. Уравнение 2х2 - 6 = 0 запишем в виде 2х2 = 6. Разделим обе части уравнения на число 2 (не равное нулю) и получим х2 = 3. Корни этого уравнения

Ответ:

2. Левую часть уравнения 3х2 + 5х = 0 разложим на множители и получим х(3х + 5)= 0. Так как произведение двух множителей равно нулю, то хотя бы один из них равен нулю. Получаем: х1 = 0 или 3х + 5 = 0 (корень этого линейного уравнения) х2 = -5/3.

Ответ: 0 и -5/3.

3. Разделим обе части уравнения -7х2 = 0 на число -7 (не равное нулю) и получим х2 = 0. Это уравнение имеет единственный корень х = 0.

Ответ: 0.

4. Найдем дискриминант квадратного уравнения 3х2 – х - 2 = 0 и получим D = (-1)2 – 4 · 3 · (-2) = 25. Теперь находим корни уравнения т. е.

Ответ: 1 и -2/3.

5. Построим графики функций у1 = х2 (парабола) и у2 = х + 1 (прямая).

Видно, что графики пересекаются в двух точках А и В. Абсциссы этих точек дают решение уравнения х2 = х + 1. Приближенно корни равны х1 ≈ -0,6 и х2 ≈ 1,6.

Ответ: -0,6 и 1,6.

6. Пусть скорость течения реки х км/ч. Тогда скорость лодки против течения реки равна 12 - х км/ч и на путь 25 км турист затрачивает время ч. Плот очевидно движется со скоростью речения реки х км/ч и затрачивает на путь 25 км 25/x ч. По условию на движение в лодке было затрачено на 10 ч меньше, чем на движение на плоту. Поэтому получаем дробное рациональное уравнение

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей и получим: или Раскроем скобки и приведем подобные члены: 60 - 5х - 5х = 24х - 2х2, или 2х2 - 34х + 60 = 0, или х2 - 17х + 30 = 0. Корни этого квадратного уравнения х1 = 2 и х2 = 15 (не подходит, т. к. х < 12).

Ответ: 2 км/ч.

7. Для квадратного уравнения 2х2 + 5х + 1 = 0 запишем теорему Виета: Найдем значение данного выражения

Ответ: -5/4.

8. Один корень уравнения 2х2 - 1999х + 1997 = 0 легко угадать x1 = 1. Проверим это, подставив это значение: 2 · 12 - 1999 · 1 + 1997 = 0 (верное равенство). Для нахождения второго корня запишем теорему Виета для произведения корней откуда Легко проверить, что найденные корни х1 и х2 удовлетворяют теореме Виета для суммы корней

Ответ: 1 и 1997/2.

9. Для квадратного уравнения 4х2 - 7ах + 3a2 = 0 найдем дискриминант D = (-7a)2 - 4 · 4 · 3a2 = a2 и корни т. е.

Ответ: a и 3/4a.

10. Преобразуем данное выражение Для квадратного уравнения 3х2 + 5х + 1 = 0 запишем теорему Виета: х1 + х2 = -5/3 и х1х2 = 1/3. Найдем сумму квадратов корней: и значение данного выражения

Ответ: 19

11. Для квадратного уравнения х2 - 8х + a = 0 запишем теорему Виета х1 + х2 = 8. По условию 3х1 + 4х2 = 29. Для нахождения корней х1 и х2 решим систему линейных уравнений способом подстановки. Выразим из первого уравнения х2 = 8 – х1 и подставим во второе уравнение: 3х1 + 4(8 – х1) = 29 или 3х1 + 32 - 4х1 = 29, откуда х1 = 3. Теперь находим х2 = 8 – х1 = 8 - 3 = 5. Используя теорему Виета, найдем значение параметра a = х1х2 = 3 · 5 = 15.

Ответ: a = 15, х1 = 3, х2 = 5.

12. Очевидно, что уравнение (a - 3)х2 + ах - 2а + 3 = 0 при а - 3 = 0 (т. е. a = 3) является линейным и при a - 3 ≠ 0 (т. е. при а ≠ 3) будет квадратным. Решим эти уравнения.

Подставим значение a = 3 в данное уравнение и получим линейное уравнение 3х - 3 = 0, корень которого х = 1.

При а ≠ 3 найдем дискриминант данного квадратного уравнения и его корни т. е. и

Заметим, что квадратное уравнение можно решить и по-другому. Один корень х1 = 1 легко угадать. Проверим: (а - 3) · 12 + а · 1 - 2а + 3 = а – 3 + а - 2а + 3 = 0 (верное равенство). Тогда другой корень найдем, используя теорему Виета: откуда

Ответ: при а = 3 х = 1, при а ≠ 3 х1 = 1 и

13. Общий знаменатель дробей в уравнении равен (х + а)(х – а). Учтем, что он не равен нулю, и умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Получаем: или или 0 · x = a2 + 2a, или 0 · х = a(а + 2). Так как левая часть уравнения равна нулю, то и правая часть должна равняться нулю, т. е. а(а + 2) = 0, откуда а = 0 и а = -2.

При а = 0 уравнение имеет вид 0 · х = 0 и его решением является любое число x. Однако надо учесть, что общий знаменатель (х + а)(х – а) ≠ 0 или (х + 0)(х – 0) ≠ 0, или х2 ≠ 0 , т. е. х ≠ 0. Итак, при а = 0 х — любое число, кроме нуля.

При а = -2 уравнение также имеет вид 0 · х = 0 и его решением является любое число х. Учтем, что общий знаменатель (х + а)(х – а) ≠ 0 или (х + 2)(х – 2) ≠ 0, т. е. х ≠ ±2. Итак, при а = -2 х — любое число, кроме чисел ±2.

При а ≠ 0 и а ≠ -2 уравнение корней не имеет.

Ответ: при а ≠ 0 и а ≠ -2 корней нет; при а = 0 х — любое число, кроме 0; при а = -2 х — любое число, кроме ±2.

14. Сначала решим уравнение |х - 1| = х2 аналитически. Надо рассмотреть два случая.

а) х - 1 = х2 или 0 = х2 - х + 1. Дискриминант D этого квадратного уравнения отрицательный и оно не имеет корней.

б) х - 1 = -х2 или х2 + х - 1 = 0. Это уравнение имеет два корня т. е. х1 ≈ 0,6, х2 ≈ -1,6. Эти корни удовлетворяют данному уравнению.

Теперь решим данное уравнение графически. Для этого построим графики функций у1 = |х - 1| и у2 = х2. Видно, что эти графики пересекаются в двух точках А и В. Абсциссы этих точек являются корнями уравнения |х - 1| = х2. Приближенное значение этих корней х1 ≈ 0,6, х2 ≈ -1,6.

Ответ: х1 ≈ 0,6, х2 ≈ -1,6.