Свойства числовых неравенств - ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ИХ СВОЙСТВА - НЕРАВЕНСТВА

Цель: рассмотреть свойства неравенств и их применение к решению задач.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы па домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Дайте определение, что число а больше числа b.

2. Сравните: а) 8/11 и 9/13, б) а2 + 16 и 8а.

3. Докажите неравенство (a - 3)(а + 11) < (a + 3)(a + 5).

Вариант 2

1. Дайте определение, что число а меньше числа b.

2. Сравните: а) 8/13 и 7/11, б) а2 + 25 и 10а.

3. Докажите неравенство (а – 2)(a + 9) < (а + 3)(а + 4).

III. Изучение нового материала (основные понятия)

При решении задач необходимо знать основные свойства числовых неравенств, отраженные в следующих теоремах.

Теорема I. Если а > b, то b < а и если а < b, то b > а.

Если а > b, то по определению разность а - b > 0. Но тогда величина b - а < 0, что по определению означает b < а.

Если а < b, то по определению разность а - b < 0. Но тогда величина b - а > 0, что по определению означает b > а.

Геометрическая иллюстрация этого свойства приведена на рисунках.

Если а > b, то на координатной прямой точка а расположена правее точки b. Но тогда точка b расположена левее точки а, что и означает b < а.

Если а< b, то на координатной прямой точка а лежит левее точки b. Но тогда точка b расположена правее точки a, что и означает b > а.

Теорема 2. Если а < b и b < с, то а < с.

Рассмотрим разность а - с и покажем, что эта разность — отрицательное число. Для этого к разности прибавим и вычтем число Ь и запишем ее в виде a - с = (a - b) + (b - c). Так как а < b, то величина а - b отрицательна. Аналогично, так как b < с, то разность b - с также отрицательна. Сумма а - с отрицательных слагаемых а - b и b - с, очевидно, отрицательна. Тогда по определению а < с. Геометрическая иллюстрация этого свойства приведена на рисунке.

Так как а < b, то на координатной прямой точка b расположена правее точки а. Так как b < с, то точка с расположена правее точки b и, тем более, правее точки а. Поэтому а < с.

Аналогично доказывается, что если а > b и b > с, то а > с.

Теорема 3. Если а < b и с — любое число, то а + с < b + с.

Рассмотрим разность чисел a + с и b + с и получим (а + с) - (b + с) = а + с – b - с = а - b. Так как a < b, то разность a - b отрицательна. Поэтому разность (a + c) - (b + c) также отрицательна. Тогда по определению а + с < b + с. Геометрическая иллюстрация этого свойства приведена на рисунке.

Так как а < b, то точка а расположена на координатной оси левее точки b. Точка а + с смещена относительно точки а на такое же расстояние, как и точка b + с относительно точки b. Поэтому точка а + с расположена на координатной оси левее точки b + с и, следовательно, а + с < b + с.

Итак, если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство.

Теорема 4. Если а < b и с — положительное число, то ас < bс. Если а < b и с - отрицательное число, то ас > bс.

Рассмотрим разность ас - bс и запишем ее в виде ас - bc = (а - b)c. Так как а < b, то первый множитель a - b в произведении — отрицательное число.

Если с > 0, то произведение (а - b)с отрицательно и, следовательно, ас < bс. Если с < 0, то произведение (a - b)c положительно и, следовательно, ас > bс. Геометрическая иллюстрация этого свойства приведена на рисунке (для определенности числа а и b положительны)..

Так как деление можно заменить умножением на число, обратное делителю, то свойство, аналогичное рассмотренному, справедливо и для деления.

Итак, если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство. Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и при этом изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

Следствие. Если а и b положительные числа и а < b, то 1/a > 1/b.

Разделим обе части неравенства а < b на положительное число ab. При этом знак неравенства (по теореме 4) не меняется, и получаем a/ab < b/ab. Сократим дроби в этом неравенстве и получим 1/b < 1/a или (по теореме 1) 1/a > 1/b.

Рассмотрим примеры использования перечисленных свойств неравенств при решении задач.

Пример 1

Оценим периметр квадрата со стороной а см, если известно, что 18,1 < а < 18,2.

Периметр квадрата со стороной а равен Р = 4а. Поэтому умножим все части данного двойного неравенства 18,1 < а < 18,2 на положительное число 4. По теореме 4 получаем верное двойное неравенство того же знака 18,1 · 4 < а · 4 < 18,2 · 4 или 72,4 < Р < 72,8. Итак, периметр Р квадрата больше 72,4 см, но меньше 72,8 см.

Пример 2

Докажем неравенство а2 + 5 > 4а.

Рассмотрим верное неравенство (а – 2)2 + 1 > 0 (сумма неотрицательного выражения (a – 2)2 и положительного числа 1 будет положительной величиной) или а2 - 4а + 4 + 1 > 0, или а2 – 4a + 5 > 0. К обеим частям этого верного неравенства прибавим одно и то же число 4а. Тогда по теореме 3 получаем также верное неравенство а2 – 4a + 5 + 4а > 0 + 4a или а2 + 5 > 4а, что и требовалось доказать.

Очень важно обратить внимание учащихся на четкое знание теорем. В противном случае можно получить грубые ошибки.

Пример 3

Рассмотрим верное неравенство -2 < 3. Если использовать следствие теоремы 4, то получим неравенство 1/-2 > 1/3, которое, очевидно, неверно. Ошибка связана с тем, что использованное следствие применимо лишь если обе части исходного верного неравенства являются положительными числами. В этом примере левая часть верного неравенства -2 < 3 была числом отрицательным.

IV. Контрольные вопросы

1. Сформулируйте и докажите теорему 1. Дайте ее геометрическую иллюстрацию.

2. Сформулируйте и докажите теорему 2. Приведите ее геометрическую иллюстрацию.

3. Сформулируйте и докажите теорему 3.

4. Сформулируйте и докажите теорему 4 и следствие из нее.

V. Задание на уроке

№ 729; 731; 732 (г); 733 (а, б); 735 (а, в); 736 (б, г); 739 (а, д); 741 (б); 744 (а).

VI. Задание на дом

№ 730; 732 (а, б); 734 (а, в, д); 735 (б, г); 736 (а, в); 738; 741 (а); 742 (а, б); 743 (а).

VII. Подведение итогов урока