Поурочные разработки по Алгебре для 9 класса к учебнику Ю.Н. Макарычева

Разложение квадратного трехчлена на множители - Квадратный трехчлен - Квадратичная функция

Цель: обсудить разложение многочленов на линейные множители.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Дайте определение многочлена n-й степени.

2. Найдите корни квадратного трехчлена 3х2 - 5х - 2.

3. Найдите наименьшее значение выражения х2 + у2 - 6х + 8у.

Вариант 2

1. Дайте определение квадратного трехчлена.

2. Найдите корни квадратного трехчлена 7х2 - 4х - 3.

3. Найдите наименьшее значение выражения х2 + у2 + 4х - 8у.

III. Изучение нового материала

При решении уравнений, действиях с алгебраическими дробями и т. д. необходимо раскладывать многочлены на множители. Особенно часто приходится раскладывать квадратные трехчлены на линейные множители. При этом необходимо учитывать две следующие теоремы.

Теорема 1. Если х1 и х2 - корни квадратного трехчлена ах2 + bх + с, то ах2 + bх + с = а(х – х1)(х - х2).

Докажем это утверждение. В многочлене ах2 + bх + с вынесем за скобки множитель а и получим: Учтем, что х1 и х2 корни и квадратного трехчлена ах2 + bх + с, и квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0. Поэтому по теореме Виета тогда

Подставив эти соотношения, получим:

В таком равенстве раскроем скобки, сгруппируем слагаемые и разложим выражение на множители:

Итак, получили: и тогда

Заметим, что в этом выражении многочлены х – х1 и х - х2 имеют первую степень, т. е. линейные многочлены. Поэтому равенство является разложением квадратного трехчлена ах2 + bх + с на линейные множители х – x1 и х - х2 (с точностью до коэффициента а).

Пример 1

Разложим на линейные множители квадратный трехчлен 4х2 - 3х - 10.

Найдем корни этого трехчлена, решив квадратное уравнение 4х - 3х- 10 = 0. Такими корнями являются числа х1 = -5/4 и х2 = 2.

Тогда по доказанной теореме получаем:

Такое разложение можно записать и в другом виде, внеся множитель 4 в первую скобку: 4х2 - 3х - 10 = (4х + 5)(х - 2).

Пример 2

Разложим на множители квадратный трехчлен -3х2 + 12х - 12.

Решив квадратное уравнение -3х2 + 12х - 12, найдем два равных корня трехчлена: x1 = х2 = 2.

Тогда получаем разложение данного квадратного трехчлена на множители: -3х2 + 12х - 12 = -3(х - 2)(х - 2), или -3х2 + 12х - 12 = -3(х - 2)2.

Таким образом, теорема 1 выполняется, если квадратный трехчлен имеет два различных или одинаковых корня, т. е. при дискриминанте трехчлена D ≥ 0.

Пример 3

Сократим дробь

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

Корни числителя х1 = 1/2 и x2 = 5/3. Поэтому получаем:

Корни знаменателя х1 = 1/2 и x2 = -1/4. Имеем разложение: Теперь легко сократить дробь:

Обсудим теперь ситуацию, при которой квадратный трехчлен не имеет корней, т. е. его дискриминант D < 0.

Теорема 2. Если квадратный трехчлен ах2 + bх + с не имеет корней, то его нельзя разложить на множители, являющиеся многочленами первой степени.

Докажем способом от противного. Предположим, что квадратный трехчлен можно разложить на линейные множители, т. е. где k, m, р, q - некоторые числа и k ≠ 0, р ≠ 0.

Очевидно, что произведение (kx + m)(px + q) обращается в нуль при . Следовательно, при таких значениях обращается в нуль и трехчлен ах2 + bх + с. Поэтому числа являются корнями трехчлена ах2 + bх + с. Но это противоречит условию теоремы: трехчлен ах2 + bх + с корней не имеет.

Пример 4

Дискриминант квадратного трехчлена 3х2 - 5х + 4 равен: Так как дискриминант отрицательный, то квадратный трехчлен 3х2 - 5х + 4 корней не имеет и не может быть разложен на линейные множители.

Заметим, что способ разложения на линейные множители, изложенный в примерах 1-3, может быть использован и в случае многочленов второй степени с параметром.

Пример 5

Разложим на множители многочлен (где n - параметр).

Найдем корни данного трехчлена. Для этого решим квадратное уравнение В этом уравнении коэффициенты: а = 1, b = -3n и с = 2n2 + n - 1.

Найдем дискриминант и его корни т. е.

Теперь разложим многочлен на множители:

Теорема 1 может быть обобщена и на случай многочлена n-й степени: если х1, х2, ..., хn - корни многочлена то его можно разложить на линейные множители:

Пример 6

Рассмотрим кубический многочлен Р3(х) = 3х3 + 4х2 - 5х - 2.

Проверкой можно убедиться, что он имеет корни х1 = -1/3, х2 = 1 и х3 = -2 (как найти эти корни - другой вопрос). Тогда многочлен можно разложить на линейные множители:

Заметим, что многочлен может не иметь корней, но тем не менее раскладываться на множители.

Пример 7

Разложим на множители многочлен четвертой степени Р4(х) = х4 + х2 + 1.

Очевидно, что такой многочлен корней не имеет. Действительно, при всех значениях х выражения х4 ≥ 0 и х2 ≥ 0. Поэтому значения многочлена Р4(х) ≥ 1 и не равны нулю.

Тем не менее его удается разложить на множители. Для этого к нему прибавим и вычтем х2, получим разность квадратов и разложим ее на множители. Имеем:

Таким образом, многочлен четвертой степени разложили на произведение двух квадратных трехчленов. Очевидно, что разложить данный многочлен на линейные множители изначально было невозможно.

IV. Контрольные вопросы

1. Сформулируйте и докажите теорему о разложении на линейные множители квадратного трехчлена с неотрицательным дискриминантом.

2. Сформулируйте и докажите теорему о невозможности разложения на множители квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом.

V. Задание на уроке

№ 76 (а, б, г); 79 (а); 80 (б, г); 82; 83 (а, в, д); 85 (а); 87 (а); 88 (б).

VI. Задание на дом

№ 76 (в, д, и); 79 (б); 80 (а, в); 81; 83 (б, г, е); 85 (б); 87 (б); 88 (а).

VII. Творческие задания

1. Разложите на множители квадратный трехчлен.