Графики функций у = ах2 + n и у = а(х - m)2 - Квадратичная функция и ее график - Квадратичная функция

Цель: рассмотреть параллельный перенос графика функции.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Приведите основные свойства и график функции у = ах2 при а> 0.

2. Постройте график функции.

3. При каком значении а прямая у = х + а касается параболы y = 0,5x2?

Вариант 2

1. Приведите основные свойства и график функции у = ах2 при а < 0.

2. Постройте график функции.

3. При каком значении а прямая у = х - а касается параболы у = -2x2?

III. Изучение нового материала

На предыдущем уроке были рассмотрены два важнейших преобразования графика функции у = f(x).

1. График функции у = -f(x) получается из графика функции у = f(x) с помощью симметрии относительно оси абсцисс.

2. График функции у = af(x) получается из графика функции у = f(x) растяжением вдоль оси ординат в а раз при а > 1 и сжатием в 1/a раз при 0 < а< 1.

Эти преобразования пригодны для любых функций (как изученных, так и еще не рассмотренных). Поэтому необходимо знать такие преобразования и уметь ими пользоваться.

Рассмотрим еще два важнейших преобразования графика функции у = f(х) - построение графиков функции у = f(х) + n и y = f(x - m).

3. График функции у = f(x) + n получается из графика функции у = f(x) с помощью параллельного переноса вдоль оси ординат на |n| единиц: вверх при n > 0 и вниз при n < 0.

Пример 1

Построим график функции у = -х2 - 2.

В соответствии с приведенным алгоритмом график функции у = -х2 - 2 получается из графика функции у = -x2 параллельным переносом вдоль оси ординат на 2 единицы вниз, т. к. n = -2 < 0 (см. рисунок).

4. График функции у = f(x - m) получается из графика функции у = f(x) с помощью параллельного переноса вдоль оси абсцисс на |m| единиц: вправо при m > 0 и влево при m < 0.

Пример 2

Построим график функции у = (х + 1)2.

Запишем функцию в виде у = (х - (-1))2. Тогда в соответствии с изложенным алгоритмом график функции y = (х + 1)2 получается из графика функции у = х2 параллельным переносом вдоль оси абсцисс на 1 единицу влево, т. к. m = -1 < 0 (см. рисунок).

Из преобразований 3-4 следует, что график функции у = f(x - m) + n получается из графика функции у = f(x) с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси абсцисс на |m| единиц: вправо при m > 0 и влево при m < 0 и сдвига вдоль оси ординат на |n| единиц: вверх при n > 0 и вниз при n < 0. Эти сдвиги можно выполнять в любом порядке: сначала вдоль оси абсцисс, а затем вдоль оси ординат или наоборот. Заметим, что все преобразования 1-4 можно выполнять в любой последовательности (разумеется, при условии правильности их применения).

Пример 3

Построим график функции у = -1/2(х - 2)2 + 1.

Очевидна следующая последовательность преобразований графика (алгоритм построения):

1. Строим график функции у = х2.

2. Получаем из него график функции у = -х2 (преобразование 1 - симметрия относительно оси абсцисс).

3. Строим график функции у = -1/2х2 (преобразование 2 - сжатие предыдущего графика в два раза вдоль оси ординат).

4. Получаем из него график функции у = -1/2х2 + 1 (преобразование 3 - сдвиг на одну единицу вверх).

5. Строим график функции у = -1/2(х - 2)2 + 1 (преобразование 4- сдвиг предыдущего графика на две единицы вправо).

После выполнения этих построений получаем окончательный график (на рисунке приведены: начальный этап построения - график функции у = х2 и конечный этап - график у = -1/2(х - 2)2 + 1).

IV. Контрольные вопросы

1. Алгоритм построения графика функции у = -f(x)?

2. Как построить график функции у = af(x) при а > 0?

3. Построение графика функции у = f(x) + n.

4. Алгоритм построения графика функции у = f(x - m).

V. Задание на уроке

№ 106 (а, в); 107 (а); 109 (а, в, д); 110 (б, в); 114; 116 (а, в); 117 (а); 118 (а, б).

VI. Задание на дом

№ 106 (б, г); 107 (б); 109 (б, г, е); 110 (а, г); 115; 116 (б, г); 117 (б); 118 (в, г).

VII. Подведение итогов урока