Сборник задач по математике с решениями - А. А. Рывкин, Е. Б. Ваховский 2003
Задачи
Функции и их свойства
17.1. Решите неравенство
4f(x) + g(x) ≤ 0,
если функции f(x) и g(x) удовлетворяют системе
17.2. Сколько различных действительных корней имеет уравнение f(f(x)) = 0, где f(x) = x³ − 6x² + 9x?
17.3. Найдите все целые x и у, удовлетворяющие системе
17.4. Решите систему уравнений
17.5. Дана функция f(x) = 6х² + 2х + 6. Известно, что ее график касается графика первообразной F(x) этой функции в точке, абсцисса которой превосходит число 0,7. Найдите все значения x, для которых
17.6. Изобразите на плоскости (x, у) множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству
log(x − у)(x + у) ≥ 1.
17.7. Найдите площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют системе неравенств
17.8. На координатной плоскости заданы точки A(0; 2), B(1; 7), С(10; 7) и D(7; 1). Найдите площадь пятиугольника ABCDE, где E — точка пересечения прямых AC и BD.
17.9. Фигура задана на координатной плоскости системой
Сколько интервалов на прямой у = 2 − x образует ортогональная проекция данной фигуры на эту прямую?
17.10. При каких значениях параметра а уравнение
x² − (а + 3)x + 2а + 7 = 0
имеет 2 различных целых корня?
17.11. В зависимости от а определите число действительных корней уравнения
х4 − (1 − 2а)x² + а² − 1 = 0.
17.12. При каких значениях параметра а уравнение
2(2а − 1) sin 4х − (а + 3) cos 8х + 3а = 1
имеет ровно восемь решений на отрезке [−π, π]?
17.13. На плоскости (x, у) укажите все точки, через которые не проходит ни одна из кривых семейства
у = x² + 2(а − 1)x + 2(а − 1)² − 1,
где а — действительное число.