Призма. Параллелепипед - Урок 2 - Стереометрия - Геометрия - Повышенный уровень 1

1098. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер: АВ = 12, AD = 16, СС₁ = 9. Найдите угол между плоскостями BDD₁ и AB₁D₁.

1099. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер: АВ = 3, AD = 4, СС₁ = 9. Найдите угол между плоскостями АВС и A₁DB.

1100. В основании прямого параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит ромб ABCD, ∠ACA₁ = arcctg2, ∠DBD₁ = arcctg4, CC₁ = 1. Найдите объём параллелепипеда.

1101. В основании прямого параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит ромб ABCD, ∠ACA₁ = arcctg3, ∠DBD₁ — arcctg4, CC₁ = 2. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

1102. В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит ромб ABCD. Известно, что ∠ABC = π/6 и АВ = СС₁. Найдите угол между плоскостями АВС и ADF, где F — середина ребра ВВ₁.

1103. Грань ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ является квадратом со стороной 2, а пространственная диагональ параллелепипеда равна 2√5. Найдите угол между плоскостью A₁B₁C₁D₁ и плоскостью ADC₁.

1104. Грань ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ является квадратом со стороной 3, а пространственная диагональ параллелепипеда равна √21. Найдите угол между плоскостью A₁B₁C₁D₁ и плоскостью ADC₁.

1105. Основанием прямого параллелепипеда является ромб. Плоскость, проведённая через одну из сторон нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания, образует угол, равный 60°, с плоскостью основания, а полученное сечение имеет площадь 5√3. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

1106. Определите объём правильной четырёхугольной призмы, если её диагональ образует с боковой гранью угол 30°, а сторона основания равна 3√2.

1107. В основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит треугольник АВС, в котором АС = 3, ВС = 4, АВ = 5. Высота призмы равна 2√6. Найдите MN, где М — середина СС₁, а N — середина АВ.

1108. В основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный треугольник АВС с основанием АВ = 10. Найдите расстояние между прямой CC₁ и прямой, проходящей через точку А и параллельной прямой СM₁, где M₁ — середина стороны А₁В₁.

1109. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все рёбра которой равны 5, найдите расстояние от точки С до прямой D₁E₁.

1110. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все рёбра которой равны 7, найдите расстояние от точки В до прямой D₁C₁.

1111. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все рёбра которой равны 6, найдите расстояние от точки А до прямой Е₁D₁.

1112. В правильной четырёхуголной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 4, а боковые рёбра — 3. Найдите угол между прямыми BD и AD₁.

1113. В прямой треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все рёбра которой равны 4, точки К и М лежат на серединах боковых рёбер АА₁, ВВ₁ соответственно, а точка L лежит на середине ребраA₁C₁. Найдите косинус угла между прямой ВВ₁ и плоскостью KLM.

1114. В призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны √3, угол между боковым ребром АА₁ и высотой AN нижнего основания призмы АВС равен 30° и проекция точки А₁ на плоскость АВС лежит на высоте AN. Точки К и М лежат на рёбрах А₁С₁ и A₁B₁ соответственно, при этом 2А₁М = МВ₁ = 2А₁К = КС₁. Найдите площадь сечения призмы АКМ.

1115. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ сторона основания равна 8, высота равна 3. Найдите косинус угла между плоскостями B₁DF₁ и ED₁C.

1116. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ сторона основания равна 8, высота равна 5. Найдите косинус угла между плоскостями СЕВ₁ и АЕ₁С₁.

1117. Дана правильная треугольная призма, диагональ боковой грани которой составляет с боковым ребром угол 60°. Найдите угол между скрещивающимися диагоналями смежных боковых граней призмы.

1118. Дана правильная треугольная призма со стороной основания, равной 4, боковым ребром, равным 8√2. Найдите косинус угла между диагональю боковой грани и плоскостью смежной боковой грани.

1119. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ дано АВ = 2 и ВС = 4. На ребре АА₁ выбрана точка К так, что А₁К = 4, а на ребре ВВ₁ — точка L так, что B₁L = 3. Найдите площадь сечения, проходящего через точки К, L и D₁.

1120. В треугольной призме ABCAiBiCi основанием является прямоугольный треугольник с катетами АВ = 9, АС = 12. А₁В = 6 является высотой призмы. Найти угол между плоскостямиA₁B₁B и В₁ВС.

1121. В призме ABCDA₁B₁C₁D₁ основанием является ромб ABCD с диагоналями АС = 6 и BD = 8. Н — точка пересечения диагоналей ромба. Высота призмы С₁Н = 3. Найдите угол между плоскостями A₁CD и DСС₁.