Поурочные разработки по геометрии 10 класс

Разложение вектора по трем некомпланарным векторам - КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ - ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

Цель урока:

- рассмотреть теорему о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Коллективная проверка домашнего задания.

III. Опрос

У доски - 2 ученика (1-й отвечает сразу, 2-й готовится)

1. ученик - компланарные векторы и правило параллелепипеда.

2. ученик - доказать признак компланарности 3-х векторов.

3. ученик - задача № 362.

Дано: ABCD - тетраэдр; ВК = КС. DK разложить по (рис. 1).

Решение: К - середина;

IV. Объяснение нового материала

Если вектор представлен в виде (1) где х, у, z - некоторые числа, то говорят что вектор разложен по векторам Числа х, у, z называются коэффициент разложения. Теорема: Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициент разложения определяется единственным образом.

Доказательство: Пусть - данные некомпланарные вектора Отметим произвольную точку О и отложим от нее векторы (2); Через т. Р проведем прямую параллельную ОС. Р1 = с ∩ АОВ (если Р ∈ ОС, то в качестве Р1 возможен т. О). Через Р1 проведем Р1Р2 параллельную ОВ; Р2 = с ∩ ОА (если Р1 ∈ ОВ то в качестве Р2 возьмем точку О); (3). Векторы коллинеарные, поэтому существуют числа х, у, z такие, что подставляя в (3) получим: учитывая (2) получаем

Докажем единственность коэффициентов разложения. Допустим, что имеется ещё одно разложение вектора Вычитая это равенство из (1), получим Это равенство выполняется только тогда, когда х – х1 = 0, у – у1 = 0, z – z1 = 0. Если предположить, например, что z – z1 ≠ 0, то из этого равенства получим следовательно, векторы - компланарны (это противоречит условию теоремы).