Повторение. Векторы в пространстве, их применение к решению задач - ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ КУРСА ГЕОМЕТРИИ

Цели урока:

1) повторение и обобщение знаний по теме;

2) совершенствование навыков построения чертежей;

3) развитие логического мышления, пространственного воображения.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Повторение теоретического материала

а) Примерные вопросы для повторения (желательно, чтобы учащиеся были ознакомлены с ними заранее).

Опрос проводится в форме «Продолжите фразу!»

Например, учитель начинает: «Два вектора называются коллинеарными, если...», ученик продолжает: «...они лежат на одной прямой или на параллельных прямых» или даёт какое-либо свое определение. Спорные ответы обсуждаются.

Что называется вектором? Нулевым вектором? Длиной вектора?

Чему равна длина нулевого вектора? Какие векторы называются кол- линеарными? Сонаправленными? Противоположно направленными? Какие векторы называются равными? Сколько векторов, равных данному, можно отложить от данной точки?

- Что называется суммой векторов

- Правило треугольника. Свойства сложения.

- Правило параллелограмма. Правило многогранника.

- Какие векторы называются противоположными?

- Что называется произведением ненулевого вектора на число?

- Что называется произведением нулевого вектора на число?

- Свойства умножения вектора на число.

- Справедливо ли утверждение: а) любые два противоположно направленных вектора коллинеарные; б) любые два коллинеарных вектора сонаправлены; в) любые два равных вектора коллинеарные;

- Признак компланарности векторов.

- Компланарны ли векторы: а) а, b, 2а и 3b; б) а, b, а + b, а – b?

- Известно, что векторы а, b и с компланарны. Компланарны ли векторы а) а, 2b, 3 с; б) а + b, а + 2с, 2b - 3с?

- Точки А, В и С лежат на окружности, а точка О не лежит в плоскости этой окружности. Могут ли ОА, ОВ и ОС быть компланарными?

III. Работа по готовым чертежам

В целях экономии времени необходимо чертежи на доске выполнить заранее.

Их могут выполнить 3 ученика во время фронтальной работы с классом по вопросам для повторения.

1. В прямом параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точки К и М- середины ребер AD и DD1 соответственно. Запишите векторы с началом и концом в вершинах параллелепипеда, которые:

а) противоположно направлены вектору

б) сонаправлены с вектором

в) имеют длину, равную длине вектора

2. В правильной треугольной пирамиде DABC точки Е, М, Т и К - середины соответственно ребер DC, DB, ВА и АС.

а) Перечислите пары противоположно направленных векторов, не лежащих на одной прямой и с началом и концом в точках Е, М, Т и К.

б) Перечислите пары равных векторов с началом и концом в точках Е, М, Т и К.

в) Перечислите векторы, имеющие равные длины, с концами в точках Е, М, Т и К.

3. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD точки К, М, Т и Е - середины соответственно ребер АВ, РА, PC и ВС.

1) Перечислите пары сонаправленных векторов с концами в точках К, М, Т, Е.

2) Перечислите пары равных векторов с концами в точках К, М, Т и Е.

3) Перечислите векторы, имеющие равные длины, с концами в точках К, М, Т и Е.

IV. Геометрический диктант

(Выполняется на отдельных листочках, которые сдаются на проверку.)

1. Нарисуйте параллелепипед ABCDA1B1C1D1.

2. Найдите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов

3. Найдите вектор, равный

4. Представьте вектор в виде разности двух векторов, один из которых вектор [вектор ].

5. Упростите выражение: MN - PQ - NM + РТ + RQ + TR;

6. Упростите выражение:

V. Решение задач

№ 1. Дан треугольник ABC. Выразите вектор через векторы (рис. 4).

Решение: (Ответ: BD = )

№ 2. Дан параллелепипед PLMNP1L1M1N1. Разложите вектор по векторам и (рис. 5).

Решение: (Ответ: )

№ 3. Длина ребра куба ABCDA1B1C1D1 равна а. Вычислите скалярные произведения: (рис. 6).

Решение:

(Ответ: 1) a2; 2) 2a2.)

Домашнее задание

I уровень

№ 1. Дан параллелограмм ABCD. Выразите вектор через векторы

№ 2. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1, Разложите вектор по векторам если М = [АС] ∩ [BD].

№ 3. На стороне АВ треугольника ABC взята такая точка М, что |АM| : |МВ| = 1 : 1. Вычислите |МС|, если |АС| = а, |ВС| = 2а, АСВ = 60°.

№ 4. Вычислите угол между векторами где - единичные взаимно перпендикулярные векторы.

II уровень

№ 1. Дан параллелограмм KLMN. Выразите вектор через векторы

№ 2. Дан тетраэдр ABCD, Выразите вектор через векторы

№ 3. Точка К - середина стороны треугольника DEF. Вычислите расстояние |FK|, если |DF| = m, |FE| = m√2, DFE = 135°.

№ 4. Вычислите угол между векторами где и - единичные взаимно перпендикулярные векторы.

Ответы к домашнему заданию: