Движения. Центральная симметрия. Зеркальная симметрия. Осевая симметрия. Параллельный перенос - Движения - МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ

Цель урока:

- познакомить учащихся с понятиями движения пространства и основными видами движений.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний учащихся

Разобрать задания, предложенные на предыдущем уроке в самостоятельной работе, с которыми не справилось большинство учащихся. Работу над ошибками рекомендуется выполнить дома.

III. Изучение нового материала

1. Ввести понятие отображения пространства на себя.

- Если каждой точке М пространства поставлена в соответствие некоторая точка M1, причем любая точка М1 пространства оказалась поставленной в соответствие какой-то точке М, то говорят, что задано отображение пространства на себя.

2. Отметим, что особую роль в геометрии играют отображения пространства на себя, сохраняющие расстояние между точками. Они называются движениями пространства.

Таким образом, если при движении пространства точки А и В переходят (отображаются) в точки А1 и В1, то АВ = А1В1.

Класс разделить на 4 группы, каждая из которых готовит доказательство одного из утверждений:

1 группа. Примером движения может служить центральная симметрия - отображения пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М1 относительно данного центра О.

Центральная симметрия (рис. 1)

- Докажем, что центральная симметрия является движением.

Примерный ход рассуждений.

Обозначим буквой О центр симметрии и введем прямоугольную систему координат Охуz, с началом в точке О. Установим связь между координатами двух точек M(x; y; z) и M1(x1; y1; z1), симметричных относительно точки О. Если точка М не совпадает с центром О, то О - середина отрезка ММ1. По формулам для координат середины отрезка получаем

откуда x1 = -x; y1 = -у; z1 = -z.

Эти формулы верны и в том случае, когда точки М и О совпадают.

Рассмотрим теперь любые две точки A(x1; y1; z1) и В(x2; y2; z2) и докажем, что расстояние между симметричными им точками А1 и В1 равно АВ.

По формуле расстояния между точками находим

Из этих соответствий ясно, что АВ = А1В1.

Вывод: центральная симметрия является движением.

2 группа. О: Осевой симметрией с осью а называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М1 относительно оси а.

Осевая симметрия (рис. 2)

- Докажем, что осевая симметрия является движением.

Примерный ход рассуждений.

Введем прямоугольную систему координат Oxyz так, чтобы ось Oz совпадает с осью симметрии, и установим связь между координатами двух точек M(x; y, z) и М1(x1; y1; z1), симметричных относительно оси Oz.

Если точка Мне лежит на оси Oz, то ось Oz:

1) проходит через середину отрезка ММ1 и

2) перпендикулярна к нему.

Из первого условия по формулам для координат середины отрезка получаем

тогда x1 = -х; y1 = -у.

Второе условие означает, что аппликаты точек М и М1 равны: z1 = z. Полученные формулы верны и в том случае, когда точка М лежит на оси OZ.

Рассмотрим теперь любые две точки А(x1; y1; z1) и В(х2; у2; z2) и докажем, что расстояние между симметричными им точками А1 и В1 равны АВ.

Точки А1 и B1 имеют координаты

По формуле расстояния между двумя точками находим:

Из этих соотношений ясно, что АВ = А1В1, то есть симметрия является движением.

3 группа. Зеркальной симметрией (симметрией относительно плоскости а) называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей относительно плоскости а точку М1.

Зеркальная симметрия (рис. 3).

Докажем, что зеркальная симметрия является движением.

- Введем прямоугольную систему координат Oxyz так, чтобы плоскость Оху совпала с плоскостью симметрии и установим связь между координатами двух точек М(х; у; z) и М1 (х1; у1; z1) симметричных относительно плоскости Оху. Если точка М не лежит в плоскости Оху, то эта плоскость:

1) проходит через середину отрезка MM1 и

2) перпендикулярна к нему.

Из первого условия по формуле координат середины отрезка получаем откуда z1 = z.

Второе условие означает, что отрезок ММ1 параллелен оси Oz, и, следовательно, x1 = x, y1 = y.

Полученные формулы верны и в том случае, когда точка М лежит в плоскости Оху.

Рассмотрим любые две точки А(x1; y1; z1) и В(х2; у2; z2) и докажем, что AB = A1B1 А1(x1; y1; -z1) и В1(х2; у2; -z2)

то есть АВ = А1B.

Вывод: зеркальная симметрия является движением.

4 группа. Параллельным переносом на вектор называется отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в такую точку М1, что (рис. 4).

Докажем, что параллельный перенос является движением.

При параллельном переносе на вектор любые две точки А и В переходят в точки А1 и В1 такие, что (рис. 5).

Доказать, что A1B1 = АВ. По правилу треугольника С другой стороны

Из этих двух равенств получаем или откуда Из последнего равенства следует, что А1В1 = АВ, то есть параллельный перенос - движение.

Задание учащимся:

Выяснить, в какую фигуру при любом движении переходит отрезок, прямая, плоскость.

Ответ: при движении отрезок переходит в отрезок, прямая — в прямую, плоскость - в плоскость.

IV. Закрепление изученного материала

1. Задача № 478 - устно.

2. Разобрать решение задачи № 479 а). Докажите, что при центральной симметрии прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую.

Решение:

1) Рассмотрим центральную симметрию пространства с центром О и произвольную прямую АВ, не проходящую через точку О (рис. 6).

Прямая АВ и точка О определяют единственную плоскость а. Точка А и В переходят при данной симметрии в точки А1 и В1, также лежащие в плоскости а. Поэтому и вся прямая А1В1 лежит в плоскости а.

2) Докажем сначала, что прямые АВ и А1В1 параллельны.

ΔОАВ = ΔОА1В1, т.к. ОА = ОА1, ОВ = ОВ1, ∠AОВ = ∠A1ОB1.

Из равенства треугольников следует, что ∠ABO = ∠A1B1O1, т.е. равны накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и А1В1 секущей BB1. Следовательно, АВ || A1B1.

3) Докажем теперь, что при центральной симметрии с центром О прямая АВ отображается на прямую А1В1. Для этого нужно доказать, что произвольная точка М прямой АВ переходит в некоторую точку М1 прямой А1В1, и обратно: произвольная точка прямой А1В1 симметрична относительно О некоторой точке прямой АВ.

Возьмем на прямой АВ произвольную точку М (отличную от А) и проведем прямую МО.

Она пересекает прямую А1В1 в какой-то точке М1.

ΔМАО = ΔМ1А1O, так как AO = A1O; ∠MOA = ∠M1OA1 (как вертикальные); ∠MAO = ∠M1A1O (накрест лежащие). Поэтому МО = МО1, а это значит, что точка М переходит при симметрии относительно О, в точку M1, лежащую на прямой А1В1. Аналогично доказывается обратное: любая точка М1 прямой A1B1 симметрична некоторой точке М прямой АВ относительно О.

Итак, при симметрии с центром О прямая, не проходящая через точку О, отображается на параллельную прямую A1B1.

V. Подведение итогов урока

- Сегодня на уроке мы показали, что отображение пространства на себя, сохраняющее расстояние между точками, является движением. Примерами тому служат центральная, осевая, зеркальная симметрия, параллельный перенос. Мы также убедились, что при движении отрезок переходит в равный ему отрезок, прямая - в прямую, плоскость - в плоскость.

Домашнее задание

П. 49, 50, 51, 52 б); вопросы: 15, 16, 17; № 480 а).

1. Выучить основные понятия и доказательства теорем, подготовиться к самостоятельной работе.

2. Ответы на вопросы № 15, 16, 17 выполнить письменно.

3. Индивидуальное задание учащимся: подготовить сообщения: «Симметрия в природе», «Симметрия в технике».

4. Рекомендации к задаче № 480 а):

- доказать, что при центральной симметрии с центром О плоскость а отображается на плоскость а1, можно разными способами:

1) аналогично тому, как при решении задачи № 479 (а) было доказано, что прямая АВ отображается на прямую A1B1,

2) можно решить задачу № 486 (б), из утверждения которой следует, что плоскость а отображается на плоскость а1.