Взаимное расположение сферы и плоскости - Сфера - ЦИЛИНДР, КОНУС И ШАР

Цели урока:

- рассмотреть возможные случаи взаимного расположения сферы и плоскости;

- формировать навык решения задач по теме.

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщить тему урока и сформулировать цели урока.

II. Актуализация знаний учащихся

Проверка домашнего задания № 573 (б), № 576 (в), № 577 (в) проверить фронтально.

Задача № 573 б) по готовому чертеж.

Дано: сфера, А и В принадлежит сфере, ОМ ⊥ AB (рис. 1).

Доказать: М — середина АВ.

Доказательство: Рассмотрим ΔАМО и ΔВМО - прямоугольные. ΔАМО = ΔВМО (МО - общий катет; ОА = OB = R- гипотенузы). ⇒ АМ = MB, значит М - середина АВ.

Задача № 576 в) (х - 2)2 + у2 + z2 = 16.

Задача № 577 в) A(0; 0; 0); N(5; 3; 1); 52 + 32 + 12 = R2. R2 = 35. х2 + y2 + z2 = 35.

Записать на доске решение дополнительной задачи.

Дано: уравнение сферы, х2 + у2 + z2 + 2у - 4z = 4.

Найти: а) О(х0; у0; z0), R; б) m, при котором А(0; m; 2) и В(1; 1; m-2) принадлежат сфере.

Решение:

При m = 2 точки A и В принадлежат сфере. (Ответ: а) О(0; -1; 2), R = 3; б) при m = 2.)

III. Математический диктант

(см. приложение)

Ответы:

Вариант I: 1) O(2; -3; 0), R = 5. 2) (х - 2)2 + y2 + (z + 1)2 = 49. 3) Да. 4) Нет. 5) Нет, не могут. 6) S = πR2. 7) О(3; 0; 0), R = 3.

Вариант II: 1) О(-3; 0; 1), R = 4. 2) (х + 2)2 + (у - 1)2 + z2 = 16. 3) Да. 4) Да. 5) Да, могут. 6) l = 2πR. 7) О(0; -3; 0), R = 3.

IV. Изучение нового материала

Исследуем взаимное расположение сферы и плоскости в зависимости от соотношения между радиусом сферы и расстоянием от ее центра до плоскости.

Выберем прямоугольную систему координат Oxyz так, что центр сферы радиуса R имеет координаты С(0; 0; d), где d - расстояние от центра сферы до данной плоскости α, а сама плоскость α совпадает с координатной плоскостью Оху. Поэтому сфера имеет уравнение x2 + у2 + (z – d)2 = R2, а уравнение плоскости α имеет вид z = 0. Почему? Аппликата z любой точки плоскости Оху равна нулю, т.е. координаты любой точки плоскости Оху удовлетворяют уравнению z = 0, а координаты любой точки, не лежащей в плоскости Оху, этому уравнению не удовлетворяют, т.к. аппликаты таких точек не равны нулю. Тем самым в соответствии с понятием уравнения поверхности уравнение z = 0 является уравнением координатной плоскости Оху.

Рассмотрим систему уравнений При z = 0 х2 + y2 = R2 – d2 (*).

Возможны три случая.

1) d < R, тогда R2 - d2 > 0 и уравнение (*) является уравнением радиуса с центром в точке О на плоскости Оху.

Таким образом, в данном случае сфера и плоскость пересекается по окружности.

Итак, если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность.

2) d = R, тогда R2 - d2 = 0 и уравнению (*) удовлетворяют только значения х = 0, у = 0. Следовательно, только координаты точки О(0; 0; 0) удовлетворяют обоим уравнениям, т.е. О - единственная общая точка сферы и плоскости.

Итак, если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку.

Этот случай рассмотрим подробнее на следующем уроке.

3) d > R, тогда R2 – d < 0 и уравнению (*) не удовлетворяют координаты никакой точки.

Итак, если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

V. Закрепление изученного материала

Задача № 580. Дано: шар. R = 41 дм. d= 9 дм (рис. 5).

Найти: Sсеч.

Решение: d < R, значит, сечением шара плоскостью является круг. Sсеч. = πr2. ΔАОК - прямоугольный, по теореме Пифагора (Ответ: 1600π дм2.)

Задача № 582. Дано: сфера, R = 10 см, ABCD - прямоугольник, А, В, С, D принадлежат сфере АС = 16 см (рис. 6).

Найти: d.

Решение: Что называется расстоянием от точки до плоскости? Проведем перпендикуляр к плоскости прямоугольника. Обозначим М - точка пересечения диагоналей прямоугольника, О - центр сферы. ΔАОС - равнобедренный, значит, ОМ - медиана и высота. ΔBDO - равнобедренный, значит, ОМ - медиана и высота. Так как ОМ ⊥ АС и ОМ ⊥ BD. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, ОМ перпендикулярен плоскости прямоугольника. Значит, ОМ - искомое расстояние. Из ΔОМА по теореме Пифагора (Ответ: 6 см.)

Задача № 584. Дано: сфера, ΔABC: R = 5 см, АВ = 13 см, ВС = 14 см, СА = 15 см (рис. 7).

Найти: d.

Решение: Проведем перпендикуляр OL к плоскости ΔABC. Обозначим М, N, К - точки касания сторон ΔABC со сферой. Так как эти точки лежат на сфере, то OM = OK = ON. ΔOLK = ΔOLM = ΔOLN (по гипотенузе и катету) ⇒ L - равноудалена от сторон ΔAВС, т.е. L - центр вписанной окружности. Найти радиус вписанной окружности для ΔABC Из прямоугольного ΔOLM найдем по теореме Пифагора (Ответ: 3 см.)

Задача № 586 а). Дано: ОАВС - тетраэдр, ОН - высота, R = 6 дм, ОН = 60 см (рис. 8).

Выяснить: взаимное расположение сферы радиуса R с центром О и плоскости ABC.

Решение: Рассмотрим уравнение х2 + y2 = R2 – d2. R = 6 дм, d= ОН = 60 см = 6 дм. ОН - высота тетраэдра, значит, ОН ⊥ (ABC) и OH = d. R = d. Сфера и плоскость имеют одну общую точку, т.е. они касаются.

Дополнительные вопросы:

1. Что называется сферой? Цилиндром сферы? Радиусом сферы? Как может быть получена сфера?

2. Что называется шаром? Как может быть получен шар?

3. Что называется уравнением поверхности?

4. Какой вид имеет уравнение сферы?

5. Каково взаимное расположение сферы и плоскости?

VI. Подведение итогов

- Рассмотрим возможные случаи взаимного расположения сферы и плоскости. Каковы они?

- Проведено исследование взаимного расположения сферы и плоскости в зависимости от соотношения между радиусом сферы и расстоянием от ее центра до плоскости, каковы результаты этого исследования?

- В ходе сегодняшнего урока были решены несколько опорных задач, которые помогут решению домашних задач.

Домашнее задание

П. 60, I уровень: № 581, 586 (б), II уровень: № 587.

Дополнительная задача

Диаметр шара равен 16 см. Через конец диаметра под углом 60° к нему проведено сечение шара.

Найдите площадь сечения.