Простейшие задачи в координатах - урок 2 - Координаты точки и координаты вектора - МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ

Цели урока:

- показать примеры решения стереометрических задач координатно-векторным методом;

- совершенствовать навыки решения задач.

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Актуализация опорных знаний

1. Теоретический опрос:

а) Вывести формулу координат середины отрезка.

б) Вывести формулу длины отрезка.

2. Проверка домашнего задания:

Один ученик на доске записывает решение домашнего задания № 429.

Дано: М(-4; 7; 0) N(0; -1; 2).

Найти: расстояние от начала координат до середины отрезка MN.

Решение: Пусть К - середина отрезка MN, тогда Значит,

3. Индивидуальная дифференцированная работа на карточках (см. приложение).

4. Математический диктант (см. приложение).

Решение индивидуально-дифференцированных задани.

Карточка № 1

1) Дано:

Найти: координаты

Решение: (Ответ: .)

2) Дано: коллинеарные.

Найти: m и n.

Решение: По определению коллинеарных векторов k = -3. Значит, n = -3 · 1; n = -3, 3 = -3 · m; m = -1. Так как k < 0, то ; Видно (Ответ: n = -3; m = -1; .)

Карточка № 2

1) Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед (рис. 1).

а) Найти: координаты точек B1; D1.

б) Разложить по координатам векторов

Решение:

а) Так как параллелепипед прямоугольный, то координаты В1(-1; -1; 5); А1(3; -1; 5). Используя формулу координат середины отрезка, O(1; 1; 5). Найдем координаты D1:

б)

(Ответ: а) В1(-1; -1; 5); D1(3; 3; 5), б) .)

2) Дано: А(6; -1; 0), В(0; 3; -2), С(3; 1; -1).

Доказать: точки А, В, С лежат на одной прямой.

Решение: Если векторы коллинеарные, то точки А, В, С лежат на одной прямой, в противном случае - не лежат на одной прямой. Найдем координаты векторов ; Очевидно, значит, векторы коллинеарные, и, следовательно, точки А, В, С лежат на одной прямой.

Карточка № 3

1) Дано: А(2; -1; 0), В(-3; 2; 1), С(1; 1; 4);

Найти: координаты точки D.

Решение: Найдем координаты векторов если D(х; у; z), Пользуясь условием составим уравнения для координат векторов и . (Ответ: D(11; -5; 2).)

2) Дано: А(1; 1; 1), В(-1; 0; -1), С(0; 2; 2), D(2; 0; 0). Лежат ли эти точки в одной плоскости?

Решение: Найдем координаты векторов Пусть Пусть Пусть Условие компланарности векторов:

Итак, признак компланарности выполняется, значит, по определению векторы компланарны и, следовательно, точки А, В, С, D лежат в одной плоскости. (Ответ: точки лежат в одной плоскости.)

Проверяются ответы диктанта, домашнего задания, вывод формул, собираются работы по индивидуальным карточкам.

III. Формирование умений и навыков учащихся

Фронтальная работа с классом.

Задача № 425 г)

Дано: А (7; 2m+n; -n); В(-5; -3; m-3); К - середина отрезка АВ; k ∈ Ох.

Найти: m; n.

Решение: Так как k ∈ Ох, то k(х; 0; 0). Используя формулы координат середины отрезка АВ, имеем

(Ответ: m = 2; n = -1..

Задача № 427.

Дано:

Найти:

Решение: (Ответ: .)

Какие виды треугольников по сравнению длин сторон вы можете назвать.

Как определить вид треугольника в зависимости от длин сторон?

Задача № 431 б).

Дано: ΔАВС; А(3; 7; -А), В(5; -3; 2), С(1; 3; -10).

Определить вид ΔABC.

Решение:

Проверим равенство BС3 = AC2 + AB2; 196 = 140 + 56 верно ⇒ по теореме обратной теоремы Пифагора сделаем вывод, что ΔABC прямоугольный с прямым углом А.

Решение задач повышенного уровня сложности

a) Дано: А(2; 5; 8), В(6; 1;0).

На оси ординат найти точку С, равноудаленную от точек А и В.

Найти: площадь ΔABC.

Решение:

1) По условию С ∈ оси OY ⇒ С(о; у; о) и АС = ВС, тогда АС2 = ВС2. По формуле расстояния между точками составим уравнение относительно у: (0 - 2)2 + (у - 5)2 + (0 - 8)2 = (0 - 6)2 + (у - 1)2 + (0 - 0)2, 4 + (у - 5)2 + 64 = 36 + (у - 1)2, (у - 5)2 - (у - 1)2 + 32 = 0, у2 – 10y + 25 – y2 + 2у - 1 + 32 = 0, -8y = -56, у = 7, С(0; 7; 0).

2) ΔАВС - равнобедренный ⇒ D - середина АВ (рис. 2);

(Ответ: С(0; 7; 0); SΔABC = )

б) Дано: коллинеарные,

Найти: координаты

Решение: Так как коллинеарные по условию, то По правилу вычитания векторов: По условию (Ответ: или )

IV. Подведение итогов

- Сегодня на уроке мы продолжали отрабатывать умение и навыки решения стереометрических задач координатно-векторным методом. Применяли данный метод для решения задач повышенного уровня сложности.

Домашнее задание

I уровень: задачи № 430; 431 а), в), г); 432.

Решение задач I уровня.

Задача № 430.

Дано: А(3/2; 1; -2), В(2; 2; -3), С(2; 0; -1) (рис. 1).

Найти: а) РΔABC б) медианы ΔABC.

Решение:

а) По формуле расстояния между двумя точками найдем длины сторон ΔАВС:

Итак, ΔABC - равнобедренный, АВ = АС.

б)Так как ΔABC равнобедренный, то медианы ВК и CN равны, где точки M, N, К - середины сторон.

(Ответ: ).

Задачи № 431 а), в), г).

а) Дано: ΔАВС; А(9; 3; -5), В(2; 10; -5), С(2; 3; 2).

Определить: вид ΔABC.

Решение:

АВ = АС = ВС ⇒ ΔАВС - равносторонний.

б) Дано: ΔABС; A(5; -5; -1), В(5; -3; -1), С(4; -3; 0).

Определить: вид ΔABC.

Решение:

Проверим равенство 6 = 6. Следовательно, по теореме обратной теореме Пифагора делаем вывод, что ΔАВС - прямоугольный с гипотенузой AС.

в) Дано: ΔАВС; А(-5; 2; 0), В(-4; 3; 0), С(-5; 2; -2).

Определить: вид ΔАВС.

Решение:

Проверим равенство 6 = 2 + 4, 6 = 6 верно. Значит, ΔABC - прямоугольный с гипотенузой ВС.

Задача № 432.

Дано: А(-3; 4; -4).

Найти: а) расстояние от А до координатных плоскостей; б) расстояние от А до осей координат.

Решение:

а) Точка А1 - проекция точки А на плоскость хОу имеет координаты A1(-3; 4; 0), поэтому расстояние от А до хОу равно АА1; Точка А2 - проекция точки А на плоскость yOz имеет координаты А2(0; 4; -4), поэтому расстояние от А до yOz равно АА2; Точка А3 - проекция точки А на плоскость хOz имеет координаты А3(-3; 0; -4), поэтому расстояние от А до xOz равно АА3;

б) Проекция точки А на ось Ох точка Ах(-3; 0; 0), поэтому Проекция точки А на ось Оу точка Ау(0; 4; 0), поэтому Проекция точки А на ось Oz точка Az(0; 0; -4), поэтому расстояние

II уровень: задачи № 437; 435 (рассмотреть 2 случая) и задача:

Дано: вектора коллинеарные.

Найти: m; n.

Решение задач II уровня.

Задача № 437.

Дано: А(-2-, 3; 5), В(3; 2; -3).

Найти: точку, равноудаленную от А и В на оси: а) Ох; б) Оу; в) Oz.

Решение:

а) Пусть точка М(х; 0; 0) искомая. По условию АМ = ВМ. Составим уравнение: .

б) Пусть точка N(0; y; 0) искомая. Решим уравнение: AN = BN;

в) Пусть точка К(0; 0; z) искомая. Решим уравнение: АК = ВК; АК2 = ВК2,

(Ответ: (-1,6; 0; 0), (0; 8; 0), (0; 0; 1).)

Задача № 435.

Дано: А(1; 0; k), В(-1; 2; 3), С(0; 0; 1).

При каких значениях к ΔАВС - равнобедренный?

Решение:

1. Пусть АВ = АС, тогда АВ2 = АС2. Составим и решим уравнение:

2. Пусть АВ = ВС, тогда АВ2 = ВС2. 3 - k = 1 или 3 - k = -1, k = 2 или k = 4.

3. Пусть АС = ВС, тогда AC2 = BC2. или или

(Ответ: .)

Дополнительная задача.

Дано: вектора - коллинеарные.

Найти: m; n.

Решение: По условию вектор имеет координаты вектор имеет координаты Известно, что векторы и коллинеарные, ⇒ выполняется условие: Исходя из этого условия, составим и решим систему: (Ответ: m = 2; n = 6.)