Свойства неопределенного интеграла - НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(х) на некотором интервале (а, b), если для любого х из данного промежутка справедливо равенство F’(x) = f(x).

Любая непрерывная функция на некотором промежутке имеет бесконечное множество первообразных, отличающихся друг от друга лишь постоянными слагаемыми. То есть, если F1(x) иF2(x) — две первообразные одной функции, то F2(x) = F1(x) + С, где С — постоянная.

Совокупность всех первообразных одной функции можно представить в виде F(x) + С, где F(x) — какая-либо первообразная этой функции, а С — постоянная.

Определение. Совокупность всех первообразных F(x) + С для функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции.

Операция нахождения первообразных функции f(x) называется интегрированием функции f(x).

Неопределенный интеграл функции f(x) обозначается следующим образом:

Сама функция f(x) при этом называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx называется подынтегральным выражением.

Таким образом

6.1. Свойства неопределенного интеграла

1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная — подынтегральной функции:

2. Неопределенный интеграл от производной или от дифференциала функции равен самой функции:

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

4. Интеграл от конечной алгебраической суммы функций равен такой же сумме интегралов от этих функций:

5. Вид интеграла не изменится. Если перейти от переменной х к переменной u, которая является дифференцируемой функцией х.

То есть если то где u = u(х) — дифференцируемая функция.