Дифференциальные уравнения высших порядков - ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Часто дифференциальные уравнения высших порядков представляют в виде разрешенном относительно старшей производной

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция у = у(х, C1, С2, ..., Сn), содержащая n произвольных постоянных C1, С2, ..., Сn и обращающая в тождество дифференциальное уравнение.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, которое получается из общего решения, если придать произвольным постоянным C1, С2, ..., Сn некоторое числовое значение.

Для того чтобы из семейства решений у = у(х, C1, С2, ..., Сn) выделить единственное, к дифференциальному уравнению добавляют начальные условия

где y0, y’0, ..., y0(n-1) — определенные заданные числа.

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения n-го порядка

Если функция f(x, у, y’, ..., y(n-1)) определена и непрерывна вместе со своими частными производной во всех точках некоторой n-мерной области, содержащей точку (x0, y0, y’0, ..., y0(n-1)), то существует, притом единственное, решение у = φ(x) дифференциального уравнения yn = f(x, у, у',..., у(n-1)), удовлетворяющее начальным условиям

Простейшее дифференциальное уравнение n-го порядка

Простейшее дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид у(n) = f(х).

Общее решение данного дифференциального уравнения получается в результате л-кратного интегрирования левой и правой частей уравнения