Комплексные числа - ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Комплексным числом называется выражение вида z = х + iy, где х и у — действительные числа, — мнимая единица.

Число х называется действительной частью числа z и обозначается Re(z), а число у — мнимой частью числа z и обозначается Im(z), т. е. х = Re(z), у = Im(z).

Действительное число х является частным случаем комплексного z = х + iy при у = 0. Комплексные числа вида z = iy называются чисто мнимыми.

Геометрически комплексные числа можно интерпретировать как точки комплексной плоскости (см. рис. 1).

Рис. 1

Наряду с приведенным выше представлением комплексных чисел z = х + iy, которое называется алгебраической формой комплексного числа, применяется еще и тригонометрическая форма

где величина называется модулем комплексного числа, а величина — аргументом комплексного числа. Аргумент комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2πk (k — любое целое число).

Числа z = x + iy и z = x - iy называются комплексно сопряженными.

Два комплексных числа в алгебраической форме z1 = z1 + iy1 и z2 = z2 + iy2 считаются равными, если равны их действительные и мнимые части, т. е. z1 = z2, если Re(z1) = Re(z2), Im(z1)= Im(z2).

Два комплексных числа в тригонометрической форме считаются равными, если равны их модули, а аргументы отличаются на величину 2πk (k — любое целое число).

Есл.

и

то из z1 = z2 следует r1 = r2 и φ1 - φ2 = 2πk.

1.8. Операции над комплексными числами

Суммой комплексных чисел называется комплексное число, действительная часть которого равна сумме действительных частей, а мнимая часть равна сумме мнимых частей суммируемых комплексных чисел.

Значит, если z1 = х1 + iy1 и z2 = х2 + iy2, то z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2).

Пример. Даны два комплексных числа z1 = 3 + 5i и z2 = -1 + 7i. Тогда z1 + z2 = 2 + 12i.

Аналогичным образом определяется разность комплексных чисел

Перемножение двух комплексных чисел выполняется с помощью обычного «раскрытия скобок» с последующим выделением вещественной и мнимой частей (при этом следует учесть, чтоi2 = -1):

Пример. Пусть z1 = 1 - 3i и z2 = 5 + i. Тогда

При делении комплексных чисел результат представляют в виде дроби, после чего числитель и знаменатель этой дроби умножают на число, комплексно сопряженное знаменателю:

Пример. Даны комплексные числа z1 = 3 + i и z2 = -1 + 5i. Тогда

При возведении комплексного числа в степень оно представляется в тригонометрической форме, после чего модуль комплексного числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на эту степень:

Пример. Возведем в третью степень число z = 5 + 5i. Модуль этого числа равен

а аргумент

Тригонометрическая форма числа имеет вид

Тогда

Для извлечения из комплексного числа корня n-й степени его также представляют в тригонометрической форме z = r(cos φ + i sin φ), учитывая, что аргумент определяется с точностью до слагаемого вида 2πk

и для получения результата w находят арифметический корень n-й степени из его модуля, а его аргумент делится на n. Окончательно получаем n различных значений для корня n-й степени из комплексного числа: