Числовые характеристики случайных величин - ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Математическое ожидание

Математическим ожиданием (средним значением) М(Х) ДСВ X называется сумма произведений всевозможных ее значений на соответствующие им вероятности.

Математическим ожиданием НСВ X называется интеграл

где φ(x) — плотность вероятности НСВ X.

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины С равно этой постоянной М(С) = С.

2. Математическое ожидание суммы случайных величин равно их сумме математических ожиданий:

М(Х + Y) = М(Х) + М(Y).

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

М(Х ∙ Y) = М(Х) ∙ М(Y).

4. Если все значения случайной величины уменьшить на одно и то же число С, то ее математическое ожидание уменьшится на то же число С:

М(Х - С) = М(Х) - С.

5. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М(С ∙ X) = С ∙ М(Х).

Математическое ожидание некоторых случайных величин

Математическое ожидание биноминально распределенной случайной величины равно nр.

Математическое ожидание случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равно параметру λ.

Математическое ожидание случайной величины, распределенной по показательному закону равно 1/λ.

Дисперсия

Дисперсией D(X) случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания:

D(X) = М[(Х - М(Х))2].

Дисперсия характеризует степень рассеяния значения случайной величины относительно ее математического ожидания (среднего значения).

Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания:

D(X) = M(X2) - M2(X).

Для вычисления дисперсии дискретной случайной величины может быть использована следующая формула:

Если ДСВ принимает счетное число значения, то величина n в верхнем пределе суммы заменяется ∞.

Для вычисления дисперсии НСВ используется формула

где φ(х) — плотность вероятности НСВ.

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю D(C) = 0.

2. Дисперсия суммы независимых случайных величин X и У равна сумме их дисперсий:

D(Х + Y) = D(X) + D(Y).

3. Дисперсия разности независимых случайных величин X и У равна сумме их дисперсий:

D(X - Y) = D(X) + D(Y).

4. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D(С ∙ X) = С2D(Х).

Дисперсия некоторых случайных величин

Дисперсия биноминально распределенной случайной величины равна npq.

Дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равна параметру λ.

Дисперсия случайной величины, распределенной по показательному закону, равна 1/λ2.

Средним квадратическим отклонением σ(Х) случайной величины X называется арифметический корень из ее дисперсии

Моменты случайных величин

Начальным моментом k-гo порядка случайной величины X называется математическое ожидание ее k-й степени.

Для ДСВ начальный момент k-гo порядка определяется формулой а для НСВ вычисляется по формуле

Центральным моментом k-гo порядка случайной величины X называется математическое ожидание k-й степени ее отклонения от ее математического ожидания.

Для ДСВ центральный момент k-гo порядка определяется формулой

а для НСВ вычисляется по формуле

где а — математическое ожидание НСВ.

Абсолютным начальным моментом k-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание случайной величины |X|k, которая для ДСВ вычисляется по формуле

а для НСВ — по формуле