Путешествие в историю математики - Свечников А. А. 1995

Задачи прошлого

В старых учебниках арифметики до XVIII в. описывалось около тридцати различных правил ре­шения задач. При этом обоснова­ния выбора способа их решения не давалось. Ученик должен был заучить правило и строго его при­держиваться при выполнении за­даний. Вот некоторые правила: фальшивое, тройное, слепое, или девичье, аварийное и др. Запо­мнить их все и научиться опреде­лять, какое правило к какой зада­че применимо, было очень трудно. С тех пор, по-видимому, и сложи­лось у некоторых людей мнение об арифметике как науке слож­ной и скучной.

Один из наиболее распростра­ненных видов задач, сохранив­шийся и в современных учебни­ках, — это задачи на тройное пра­вило, решение которых теперь не представляет большого труда. Вот пример такой задачи: «20 ра­бочих могут выполнить работу в 30 дней. Сколько рабочих могут сделать ту же работу в 5 дней?»

При решении этой задачи рассу­ждаем так: чтобы выполнить ра­боту за 5 дней, рабочих потребу­ется больше во столько раз, во сколько 30 больше 5, т. е. 30 : 5 = 6. Следовательно, рабо­чих надо больше в 6 раз, т. е. 20 • 6 = 120 (человек).

Раньше подобные задачи реша­ли иначе. Условие задачи записы­вали в одну строку, располагая данные в определенном порядке: 5 - 20 - 30, а затем действовали по правилу: перемножь второе и третье и раздели на первое — 20 • 30 = 600; 600 : 5 = 120. Та­ким образом, решение сводилось к чисто механическим действиям, но, стоило ошибиться в порядке записи условия, решение оказы­валось неверным. Сообразить, в каком порядке записывать числа в строку, должен был сам ученик, и это было наиболее трудным мо­ментом в решении задачи.

Тройное правило было извест­но уже в Древней Индии. В Запад­ную Европу оно пришло через Среднюю Азию благодаря рабо­там аль-Хорезми. Когда ремесла и торговля стали быстро разви­ваться (XVI в.), тройное правило получило большую известность. Его стали считать наиболее по­лезным в жизни и называли золо­тым правилом или ключом куп­цов.

Приведем задачу другого ха­рактера из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого: «Един человек (муж) выпьет кадь (бочку) пития (кваса) в 14 дней, а со женой выпьет тое же кадь в 10 дней, и ведательно есть (т. е. требуется узнать), в ко- лико дней жена его особно выпьет тое же кадь». В наше время такие задачи решают, составляя урав­нение или используя дроби, но можно их решать в целых числах.

Будем рассуждать так: если двое выпьют кадь за 10 дней, то две кади они выпьют за 20 дней, а 14 кадей за 10 • 14 = 140 (дней). Но один человек (муж) за 140 дней выпьет только 140 :14 = 10 (кадей). Значит, его жена выпьет за 140 дней 14 - 10 = 4 (кади). А квас из одной кади она будет пить 140 : 4 = 35 дней.

У Магницкого много задач, ко­торые интересны и сейчас. Напри­мер: «Найти число, которое при делении на два дает в остатке 1, при делении на три дает в остатке 2, при делении на четыре дает в остатке 3, при делении на пять дает в остатке 4».

Решение. Обратите внима­ние, что если бы это число было на единицу больше, то на все ука­занные числа оно разделилось бы без остатка. Поэтому если иско­мое число будет х, то число х + 1 разделится без остатка на 2, на 3, на 4 и на 5, т. е. оно разделится на произведение этих чисел — на 3 • 4 • 5 = 60 (в этом произведе­нии нет 2, так как 2 входит множи­телем в 4). Таких чисел, которые делятся на 2, 3, 4, 5, много, а наи­меньшее из них — это 60. Следо­вательно, х + 1 = 60, а х = 59. Проверьте это по условию задачи.

Вот еще одна задача Магницко­го: «В некоей единой мельнице было три жерновы, и едины жер­новы в нощеденствии (сутки) мо­гут смолоти 60 четвертей, а дру­гие в толикое же время могут смо­лоти 54 четверти, третьи же в то­ликое же время могут смолоти 48 четвертей, и некий человек даде жита (зерна) 81 четверть, желая в скорости (скорее) оно смолоти и посыла (засыпали) на все три жерновы, и ведательно есть (надо узнать), в колико часов оно жито может смолоться и колико на вся­кие жерновы достоить мельнику насыпати».

На наш взгляд, математика может стать для любого человека самой увлекательной из наук, если постараться понять ее сущ­ность, значение в повседневной жизни, поинтересоваться путями ее развития.

Упражнения и задачи

1. Купил некто трех сукон 106 аршин; единого взял 12-ю больше перед другим, а другого 9-ю больше перед третьим, и ве­щательно есть, колико коего сукна взято было (из «Арифметики» Л. Ф. Магницко­го).

Ответ:

2. Некий купец купил колокол 2546 пу­дов. А за всякий пуд дати по 550 копеек, и восхотев ведати (хотел узнать), колико цена за весь колокол будет.

Ответ: 14 003 руб.

3. Несколько товарищей при встрече обменялись рукопожатиями. Сколько встретилось товарищей, если рукопожа­тий было 21? (Решение полезно сопрово­дить чертежом).

Ответ: Поставьте 4 точки, соедините их попарно линиями. Число этих линий укажет число рукопожатий четырех человек. Добавив число точек до 7, увеличьте число соедини­тельных линий (рукопожатий) и сосчитайте их.

4. Если в двузначном числе переста­вить цифры, то разность чисел данного и полученного будет 72. Какие это числа?

Ответ: 91 и 19. Если разность двух чисел 72, то одно из этих чисел больше 72, т. е. первая цифра будет больше 8. Вторую цифру подберите, используя различные варианты.

5. Сейчас отец старше сына в 9 раз, а через 3 года будет старше в 5 раз. Сколь­ко лет отцу и сыну?

Ответ: 27 и 3.