Путешествие в историю математики - Свечников А. А. 1995

Как быстрее вычислять?

Абак и счеты

Долгое время счет для людей оставался трудным занятием. Значительно легче было считать на пальцах рук и ног, которые ста­ли как бы первой счетной маши­ной. Постепенно люди придумали немало хитроумных способов сче­та при помощи не только пальцев, но и суставов. Однако так можно было выполнять некоторые дей­ствия лишь с небольшими числа­ми. С развитием хозяйственной деятельности человек стал опе­рировать большими числами, ис­пользуя однородные предметы: камешки, ракушки, орехи, бобы и т. п. Для удобства подсчета в употребление вошли специаль­ные доски, на которых расклады­вали эти предметы и пересчиты­вали их.

Со временем доски для подсче­та стали расчерчивать на не­сколько полос или колонок. Это позволило вести счет с помощью однородных предметов значи­тельно быстрее. Например, чтобы сложить числа 231 и 156, не надо было брать такое же количество предметов. Достаточно было по­ложить в первую колонку 1 пред­мет, во вторую — 3, в третью — 2. Затем в таком же порядке под этими предметами раскладывали число 156. Подсчитав число пред­метов в каждой отдельной колон­ке (в первой их было 1 + 6 = 7, во второй 3 + 5 = 8, в третьей 2 + 1 = 3), можно было опреде­лить сумму 387.

Так люди пришли к изобрете­нию абака — счетной доски, кото­рая многие сотни лет в разных странах помогала экономить вре­мя в действиях с большими числа­ми.

Абак за время своего существо­вания постепенно совершенство­вался. Первоначально это была доска, посыпанная тонким слоем мелкого песка или порошком из голубой глины. На ней простой па­лочкой можно было писать буквы, числовые знаки, чертить фигуры, а при необходимости все это сти­рать. Такой доской обычно пользовались при обучении. От порош­ка, покрывающего доску, вероят­но, и произошло само название абак. Это слово имеет корень -бак, что в переводе с древнееврейского языка на русский озна­чает «песок, прах, пыль».

Для практических подсчетов абак расчерчивали линиями на полосы или колонки. Впослед­ствии колонки вверху дужками объединяли в группы по три. Ка­ждая такая группа представляла собой определенный класс (чи­словой). Такое усовершенствова­ние позволяло быстрее прочиты­вать числа, выложенные на аба­ке.

Предполагают, что древние ва­вилоняне пользовались абаком с колонками, соответствующими шестидесятеричной системе счи­сления.

Имеется упоминание о том, что в Греции абак существовал уже в V в. до н. э. На древней вазе сохра­нилось изображение грека, счита­ющего на абаке. Археологи прош­лого века при раскопках нашли старинный абак. Он имеет вид мраморной плиты размером 105 см х 75 см с высеченными на ней линиями.

При дальнейшем усовершен­ствовании абака стали пользо­ваться специально изготовленны­ми кружками или квадратика­ми — жетонами. Позже (в I в. до н. э.) вошли в употребление «ме­ченые жетоны», т. е. кружки или квадратики с проставленными на них цифрами (метками). Такие жетоны называли апексами.

Древние римляне пользовались абаком в виде доски или особого столика, крышка которого была разделена на полосы или колон­ки. Вверху каждой колонки сто­яли знаки, указывающие разряд чисел — единицы, десятки, сотни и т. д.

Старинный абак и древние счеты.

Пользовались, хотя сравни­тельно недолго, абаком и народы Индии. Десятичное позиционное счисление и нумерация, разрабо­танные в Индии, позволяли вы­полнять действия письменно. Свои вычисления индийцы дела­ли на песке, поэтому они отказа­лись от абака, расчерченного на колонки, а пользовались простой доской, покрытой слоем песка. На таком приборе было удобно не только записывать числа, но и без труда заменять одну цифру дру­гой, если это требовалось при вы­числениях.

Арабы, переняв абак у индий­цев и переселившись на запад по­сле завоевания Испании (VIII в.), продолжали считать на абаке значительно дольше индийцев. От западных арабов (начиная с X в.) абак переняли народы Европы.

Абак, а точнее его близкий со­брат — счетная скамья, которая на нескольких языках (немецкий, итальянский и др.) называется «банка», дала повод назвать учреждение, в котором производят разнообразные денежные опера­ции, словом банк.

В Древней Руси при счете также применяли приборы, близкие к абаку. Первоначально они, по-ви­димому, были позаимствованы у римлян или греков, но впоследствии усовершенствованы на свой лад. О том, что у нас считали на абаке, говорит крылатое выра­жение «остался на бобах». Надо полагать, это выражение сложи­лось при игре, когда выигрыш и проигрыш подсчитывался на аба­ке с помощью бобов. Тот, кто, проиграв, отдавал все свои день­ги, оставался только с бобами, на которых считал, т. е. «оставался на бобах».

Считая на абаке, числа нередко откладывали особыми костями. Такой способ у нас называли «счет костьми». Несколько позже на Руси получил широкое распространение «дощаный счет». Этот прибор состоял из ряда шнуров с нанизанными на них косточками. Впоследствии этот прибор стали делать в виде рамы с рядом стержней, на каждом из которых был нанизан десяток костей. В XVI в. этот прибор уже имел вид русских счетов, которые были зна­чительно совершеннее абака и поэтому употребляются и в наши дни.

Русские счеты после войны с Францией (1812) были завезены пленными во Францию и получили распространение в Европе.

Своеобразные приборы, похо­жие на наши счеты, но более сложные, применялись с давних пор в Китае и Японии.

Счет на линиях

Европейские математики в XIII в. разработали счет на линиях, по­заимствовав приемы счета на абаке.

На листе бумаги, разделен­ном на две части, проводили несколько параллельных отрез­ков с промежутками в 2 — 5 см. Чи­сло откладывали с помощью кружков или жетонов, пользуясь пятеричной системой счисления. Жетон, расположенный на нижней линии, означал 1, а жетон, лежа­щий между первой и второй лини­ями, означал 5. Жетон на второй линии означал 10, а жетон, лежа­щий выше этой линии, — 50. На третьей линии жетон означал 100.

Жетон, положенный выше третьей линии, но ниже четвер­той, уже означал 500 и т. д. На рис. показано, как отложить на линиях число 367.

На одной половине листа вы­кладывали первое число, а на другой — второе. Выполняя сло­жение, складывали жетоны, рас­положенные на одном отрезке или в одном и том же промежутке между линиями. Результат сло­жения записывали или выклады­вали также на линиях в нижней части листа. В Западной Европе лишь в XVI в. счет на линиях стал вытесняться «счетом пером» — письменными вычислениями.

Абацисты и алгоритмики.

Старинная гравюра.

Борьба между абакистами и алгоритмиками

Утверждение десятичной пози­ционной системы счисления и ну­мерации происходило в борьбе нового со старым. Новая система медленно распространялась в Ев­ропе в течение XII и XIII вв. До это­го времени в Западной Европе действия с числами выполняли только с помощью абака, устно или на линиях. Знакомство с деся­тичной позиционной системой счисления и нумерацией привело к тому, что некоторые математи­ки стали отказываться от приме­нения абака и перешли к письмен­ным вычислениям — к счету пе­ром (так называли этот способ вычислений в то время).

Сторонники абака (абакисты) стремились сохранить укоренив­шийся способ математических вычислений. Новый способ — счет пером — для них был непри­вычен. Им было трудно и сложно переучиваться. Абакисты отвер­гали счет пером. Они уверяли, что только абак позволяет считать быстро, легко и безошибочно.

Сторонников письменных вычи­слений прозвали алгоритмиками. Они упорно боролись за нововве­дение. Сторонники нового — алгоритмики утверждали, что счет пером проще, удобнее и его легко проверить, дабы устранить ошиб­ки.

Между абакистами и алгоритмиками во многих городах прохо­дили своеобразные турниры-дис­путы о преимуществах того или иного способа вычислений. Диспу­ты сопровождались практически­ми вычислениями на скорость — кто скорее и без ошибок произве­дет одни и те же вычисления на абаке или пером. Довольно часто эти турниры перерастали в жар­кие споры, а иногда заканчива­лись крупными скандалами.

Борьба старого и нового нашла свое отражение в ряде рисунков. Победе алгоритмиков способ­ствовали работы ученых Средней Азии, и особенно аль-Хорезми, имя которого послужило возник­новению термина алгоритм. Зна­чительную роль в победе алгорит­миков сыграла практическая по­требность в быстром и удобном счете.

Заключительный удар по аба- кистам нанес первый ученый-ма­тематик Европы Леонардо Пизан­ский — Фибоначчи. Он родился в конце XII в. в семье купца и еще мальчиком научился производить вычисления на абаке. Позднее в путешествиях по Египту, Сирии, Греции и другим странам он по­знакомился с различными спосо­бами вычислений и пришел к вы­воду, что индусский способ — наилучший. Большое влияние оказали на него арабские матема­тики.

В 1202 г. Фибоначчи написал и издал «Книгу абака». Она начи­нается так: «Девять индусских знаков суть следующие: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. С помощью этих знаков и знака 0, который называется по-арабски «сифр», можно написать какое угодно число». В этой книге изложены основы математичес­ких знаний того времени.

«Книга абака» разрушила все доводы абакистов в пользу счета на абаке. Запись чисел с употреб­лением нуля, о чем писал Фибо­наччи, позволяла производить любые вычисления письменно значительно проще и быстрее, чем на абаке. Хотя «Книга абака» была сложна для понимания, све­дения из нее постепенно распро­странялись и нашли практичес­кое применение. Торговые люди того времени, которые больше других нуждались в скорых и пра­вильных вычислениях, увидели в счете пером удобный и быстрый способ всевозможных расчетов.

Репутация Фибоначчи как вы­числителя привлекла внимание даже правителя Священной Рим­ской империи Фридриха II (1194 — 1250). Однажды Фридрих во главе большой свиты посетил город Пи­зу, чтобы лично убедиться в ис­кусстве знаменитого вычислите­ля. В честь знатных гостей в горо­де был устроен большой математический турнир, на котором Фи­боначчи быстро решил несколько сложных задач, обнаружив блес­тящий талант математика и вычи­слителя.

Изображение училища из букваря 1701 г.

Купцы, участвующие в ожив­ленной торговле со странами Вос­тока, высоко оценили преимуще­ства подсчета, которым пользо­вались арабы и который распро­страняли алгоритмики. В городах объединения купцов стали подыскивать мастеров, знающих новые индо-арабские приемы вычисле­ний, и нанимали их для обучения своих детей и торговых людей. Именно эти мастера-алгоритмики — учителя математики и со­действовали широкому распро­странению счета пером.

Пользовались услугами счет­ных мастеров и в некоторых при­балтийских городах, а позднее, в XVIII в., и в Москве была открыта Математико-навигацкая школа. По ее образцу в ряде городов Рос­сии были созданы так называе­мые цифирные школы, в которых особое внимание уделялось изу­чению математики и географии. В цифирных школах преподавали бывшие ученики навигацкой шко­лы. Цифирные школы сыграли большую роль в распространении математических знаний и культу­ры в нашей стране.

Упражнения и задачи

1. Произведите вычисления на счетах с «волшебным числом» 142 857, которое дает следующие результаты:

142 857 • 2 = 285 714

142 857 • 3 = 428 571

142 857 • 4 = 571 428

142 857 • 5 = 714 285

142 857 • 6 = 857 142

142 857 • 7 = 999 999

Примечание. При умножении на 2, 3, 4, 5, 6 в произведениях получаются чи­сла, состоящие из цифр данного числа, а при умножении на 7 в произведении ока­жутся только девятки. Проверьте!

2. Умножьте число 3367 на 33, 66, 99, 132... 264, 297. В произведениях получим: 111 111, 222 222, 333 333... 888 888, 999 999.

Геометрия — это наука хорошо измерять.

П. Рамус