Путешествие в историю математики - Свечников А. А. 1995

Уравнения, которыми занимались в арифметике

Многие задачи в математике про­ще решать применяя уравнения, поэтому уже в I классе ученикам предлагают решать простейшие уравнения, например: х + 2 = 8; 14 -х = 5 и т. п. Но решением сложных задач с применением уравнений занимаются ученики старших классов. Однако есть ряд трудных задач, решить кото­рые легче не применяя уравнений, а посредством использования че­тырех арифметических действий. Приведем пример вот такой зада­чи: «В бригаде было несколько учеников, которые зарабатывали в день по 80 руб. А рабочие этой бригады зарабатывали в день по 150 руб. Вся бригада в составе уче­ников и рабочих получила за вы­полнение заказа 1210 руб. Сколь­ко человек было в бригаде?»

Для решения этой задачи при­мем, что в бригаде х учеников и у рабочих; зарплата (цены услов­ные) учеников составит 80х и рабочих — 150у. Тогда 80х + 150у = 1210 (руб.). Для со­ставления второго уравнения в задаче данных нет. Решение со­ставленного уравнения не дает определенного значения неиз­вестных, но позволяет выразить значение х в зависимости от у: 80х = 1210 - 150у, или х = (121 - 15у) : 8.

Попытаемся решить эту задачу подбором чисел: допустим, что в бригаде был всего один ученик. Тогда на долю рабочих из зарпла­ты придется 1210 - 80 = 1130. Но это число 1130 не делится без остатка на 150, а число рабочих должно выражаться целым чи­слом. Следовательно, учеников должно быть больше. Если их бы­ло 2 человека, то их зарплата со­ставит 80 - 2 = 160 (руб.), а зар­плата рабочих будет 1210 - 160 = 1050 (руб.). При деле­нии этого числа на 150 получим: 1050 : 150 = 7, что вполне возмож­но. Но, может быть, учеников бы­ло не 2, а 3 или 4. Проверим эти предположения. Три ученика по­лучат 80 • 3 = 140 (руб.). Тогда ра­бочие получат 1210 - 240 = 970 (руб.). Однако 970 разде­лить на 150 без остатка нельзя. Также не делится без остатка на 150 и число (1210 — 80 • 4). Следо­вательно, условию задачи удовлетворяет только одно решение: учеников было 2, а рабочих — 7. Проверка решения подтверждает правильность этих чисел. Следо­вательно, ответом к этой задаче будет 2 + 7 = 9 (человек).

Мы смогли решить приведен­ную задачу, воспользовавшись дополнительным скрытым указа­нием, что число рабочих может быть только целым.

Вот еще одна задача, подобная приведенной.

«Вася и Петя коллекционирова­ли монеты. У Пети были только пятачки, а у Васи трехкопеечные монеты. Вася намеревался обме­нять 6 копеек на пятачки. Сколь­ко пятачков должен был дать Пе­тя, чтобы рассчитаться с Васей копейка за копейку? Сколько мо­нет должен был отдать Вася?»

Составим по условию задачи уравнение: Вася должен отдать 3х (коп.), а Петя даст ему 5у (коп.). Поэтому по условию 3х = 5у. Най­ти определенное решение для этого уравнения нельзя. Из со­ставленного уравнения выра­зим х:

По условию х — це­лое число не меньше 2. Следовательно, 5у > 3 • 2. Кроме того, 5у де­лится на 3. Посмотрим, каким мо­жет быть у. Если он равен 1, то (5 • 1) ≠ 6. Возьмем у = 2, тогда (5 • 2) ≠ 6. Возьмем у = 3, тогда (5 • 3) ≠ 6, но

Следовательно, если Вася от­даст 5 трехкопеечных монет, или 15 копеек, то получит от Пети 3 пятачка. Можно получить и дру­гой ответ, но тогда Вася отдаст не 15 копеек, а в 2, 3, 4 и т. д. раз больше. Наилучшим будет реше­ние: Вася отдаст 3 • 5 = 15 коп., Пе­тя — 5 • 3 = 15 коп.

Подробное исследование реше­ния задач, похожих на приведен­ные и более сложных, проводил математик Диофант. Предполага­ют, что раньше него Архимед то­же знал, как решать такие за­дачи.

В XII в. приемы решения подоб­ных и более сложных задач изуча­ли ученые Индии. Одним из них был Бхаскара Аскарья.