Основное уравнение МКТ (давление газа) - Молекулярная физика - МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕРМОДИНАМИКА

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории устанавливает связь между давлением идеального газа и средней кинетической энергией его молекул.

Вывод основного уравнения МКТ основывается на допущениях модели идеального газа и утверждении: давление газа является результатом ударов молекул о стенку сосуда.

Определим давление газа на стенку площадью S сосуда ABCD (рис. 2.2).

Каждая молекула массой m0, отскакивая от стенки после упругого соударения со стенкой, передает ей импульс 2m0vx, где vx — проекция скорости молекулы на ось Ох, перпендикулярную стенке. Всего за одну секунду суммарный импульс, получаемый стенкой от всех молекул, равен 2movxZ, где Z — число таких столкновений (за 1 с) всех молекул.

Очевидно, что , где n — концентрация молекул в единице объема; N — число всех молекул. Число Z пропорционально также скорости молекул vx и площади стенки S: Z ~nvxS. Поскольку все направления при хаотичном движении молекул газа равновероятны, то из всех молекул, имеющих составляющую скорости vx, только половина движется в сторону стенки CD, вторая половина — в сторону АВ (т. е. в обратную).

Поэтому Z = , а полный импульс, переданный стенке за 1 с, равен 2m0vxZ = m0nS. Поскольку изменение импульса точки (тела) за единицу времени равно действующей на него силе , то F = monv В действительности, поскольку речь идет о большом количестве молекул, движущихся с разными скоростями, силу следует усреднить: = .

Сила эта зависит, таким образом, от среднего квадрата скорости .

Поскольку вследствие хаотичности движения все направления равноправны, то:

С другой стороны, известно, что квадрат модуля любого вектора равен сумме квадратов его проекций на оси координат, поэтому:

Усредняя это выражение по всем молекулам и учитывая (2.5), получим:

Отсюда:

С учетом последней формулы

Следовательно, давление на стенку сосуда равно:

Это основное уравнение молекулярно-кинетической теории. Это уравнение — первое количественное соотношение, полученное в МКТ.

Уравнение (2.6) позволяет получить связь между давлением и средней кинетической энергией молекул

Давление идеального газа равно двум третям средней кинетической энергии поступательного движения молекул, содержащихся в единице объема.

Важно подчеркнуть, что здесь речь идет о средней кинетической энергии молекул газа. Это означает, что давление газа — величина, органически связанная с тем, что газ состоит из большого числа молекул. Нет смысла говорить о давлении, создаваемом несколькими молекулами. Давление газа — понятие, имеющее статистический характер (так называют понятия, имеющие смысл только для систем с очень большим числом частиц).