Свойства функций - Числовые функции

Цель: рассмотреть основные свойства функций.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

Постройте график функции:

Вариант 2

Постройте график функции:

III. Изучение нового материала

Как уже известно из курса 7-8 классов, любая функция характеризуется определенными свойствами. Часть этих свойств ранее рассмотрена. Теперь необходимо систематизировать эти свойства и рассматривать их при исследовании любых функций и построении их графиков.

Остановимся теперь на основных свойствах функции. С двумя свойствами функции вы уже знакомы - это область определения D(f) и область значений E(f) функции у = f(х). Обсудим другие свойства функции и ее графика.

1. Точки пересечения графика функции с осями координат

Так как ось 0у характерна тем, что любая точка на ней имеет координату х = 0, а для оси 0х - любая точка на ней имеет координату у = 0, то точки пересечения графика с осями координат ищутся очень просто. Точка пересечения с осью 0у равна значению функции у(х) при х = 0, т. е. у(0). Точки пересечения с осью 0х являются корнями уравнения у(х) = 0 и называются нулями функции.

Пример 1

Рассмотрим функцию у(х) = -х ² + 6х - 8. Найдем точки пересечения графика этой функции с осями координат.

Чтобы определить точку пересечения графика с осью ординат, вычислим значение функции у(х) при х = 0: у(0) = -0² + 6 ∙ 0 - 8 = -8. Получаем координаты этой точки А(0; -8).

Теперь определим точки пересечения графика данной функции с осью абсцисс. Для этого в функцию у = -х² + 6х - 8 подставим значение у = 0 и получим квадратное уравнение: 0 = -х² + 6х - 8 или 0 = х² - 6х + 8. Решим его: т. е. x₁ = 2, x₂ = 4. Поэтому график функции пересекает ось абсцисс в двух точках: В(2; 0) и С(4; 0). Для наглядности на рисунке приведен график данной функции (здесь мы несколько забежали вперед).

2. Монотонность функции

Рассмотрим еще одно свойство функции - монотонность (т. е. возрастание или убывание функции). Функция у = f(х) называется возрастающей на множестве X ⊂ D(f), если большему значению аргумента соответствует большее значение функции (т. е. если х₂ > x₁, то f(x₂) > f(x₁)). Функция у = f(x) называется убывающей на множестве X ⊂ D(f), если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (т. е. если х₂ > x₁, то f(x₂) < f(x₁)). Па рисунке приведены графики монотонных (возрастающей и убывающей) и немонотонной функций.

Пример 2

Определим монотонность функции f(х) = -2х + 4.

Область определения этой функции - все значения х, т. е. D(f) = (-∞; +∞). Возьмем два значения х из области определения этой функции x₁ и x₂, и пусть х₂ > х₁. Найдем значения функции в этих точках: f(x₁) = -2х₁ + 4 и f(x₂) = -2х₂ + 4. Теперь необходимо сравнить эти значения и определить, какое из них больше. Для этого рассмотрим разницу этих величин: f(x₂) – f(x₁) = (-2х₂+ 4) - (-2x₁ + 4) = -2х₂ + 4 + 2х₁ - 4 = -2(x₂ – x₁).

Так как х₂ > х₁, то разность х₂ – x₁ > 0 и величина -2(х₂ – х₁) < 0. Поэтому получаем: f(x₂) – f(x₁) < 0 или f(х₂) < f(x₁). Это неравенство означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Поэтому данная функция (по определению) является убывающей. Это же видно из приведенного графика функции:

Функция во всей области определения D(f) может быть немонотонной, но на множестве X ⊂ D(f) функция может быть монотонной. Например, в примере 1 функция в целом немонотонна, но на промежутке Х = [3; +∞) функция убывает, а на промежутке X = (-∞; 3] - возрастает (докажите самостоятельно).

3. Ограниченность функции

Следующее свойство - ограниченность функции. Функция у = f(x) называется ограниченной снизу на множестве X ⊂ D(f), если все значения функции больше некоторого числа т (т. e. f(x) = m). Функция у = f(x) называется ограниченной сверху на множестве X ⊂ D(f), если все значения функции меньше некоторого числа М (т. е. f(x) < М). Если функция ограничена снизу и сверху, то она называется ограниченной. На рисунке приведены графики ограниченных и неограниченной функций.

Для выяснения ограниченности функции очень часто используются алгебраические преобразования.

Пример 3

Докажем, что функция f(x) = -x² + 6х - 8 ограничена сверху.

Выделим в функции f(x) = -(х² - 6х + 8) полный квадрат разности. Для этого в скобках прибавим и вычтем единицу. Получаем: Так как при всех значениях х величина (х - 3)² ≥ 0, величина –(х - 3)² ≤ 0, то 1 - (х - 3)² ≤ 1, т. e. f(x) ≤ 1. Тогда (по определению) данная функция ограничена сверху (при этом число М, входящее в определение, равно 2). Из графика примера 1 наглядно видно, что при всех значениях х значения f(х) < 2. Заметим, что в качестве числа М можно выбрать любое число, большее 1 (например, М = 3,84).

4. Наименьшее и наибольшее значения функции

Число m называют наименьшим значением функции у = f(х) на множестве X ⊂ D(f), если:

1) существует число х₀∈ Х такое, что f(х₀) = m;

2) для любого значения x ∈ X выполняется неравенство f(х) ≥ f(х₀).

Число М называют наибольшим значением функции у = f(х) на множестве X ⊂ D(f), если:

1) существует число х₀∈ X такое, что f(х₀) = М;

2) для любого значения х ∈ X выполняется неравенство f(х) ≤ f(х₀).

Пример 4

Найдем наибольшее значение функции f(х) = -х² + 6х - 8.

В примере 3 было показано, что существует такое число х₀ = 3, что f(х₀) = f(3) = 1, т. е. m = 1. При этом для любого значения x ∈ (-∞; +∞) выполняется неравенство f(х) ≤ 1, так как f(х) ≤ f(х₀). Тогда по определению функция f(х) имеет наибольшее значение f_наиб = 1 и оно достигается при х₀ = 3. При этом было найдено наибольшее значение функции во всей области определения D(f) = (-∞; +∞).

Разумеется, можно находить наименьшее и наибольшее значения функции не во всей области определения D(f), а на некотором множестве X этой области.

Пример 5

Найдем наименьшее и наибольшее значения функции f(х) = -2х + 4 на отрезке [-1; 3].

В примере 2 было показано, что данная функция убывает во всей области определения D(f) = (-∞; +∞). Поэтому наименьшее значение функции достигается на правом конце отрезка (т. е. в точке x₁ = 3), и оно равно f_наим = f(3) = -2 ∙ 3 + 4 = -2. Наибольшее значение функции достигается на левом конце отрезка (т. е. в точке х₂ = -1), И оно равно f_наиб = f(-1) = -2 ∙ (-1) + 4 = 6.

5. Четность и нечетность функции

Предварительно введем еще одно понятие - симметричность области определения. Область определения называется симметричной, если функция определена и в точке х₀ и в точке (-х₀) (т. е. в точке симметричной х₀ относительно начала числовой оси).

Пример 6

а) Областью определения функции являются все значения х, кроме тех, для которых х² - 4 = 0 (т. е. х = ±2). Поэтому эта функция определена, например, как при x = -1, так и при х = -(-1) = 1. И наоборот, эта функция не определена и при х = -2, и при х = -(-2) = 2. Следовательно, область определения данной функции симметричная.

б) Областью определения функции являются все значения х, кроме тех, для которых х - 4 = 0 (т. е. х = 4). Поэтому эта функция определена в точке х = -4, но не определена в симметричной точке х = -(-4) = 4. Поэтому область определения данной функции не является симметричной.

Понятие четности функции вводится только для функции с симметричной областью определения. Функция называется четной, если при изменении знака аргумента значение функции не меняется, т. е. f(-x) = f(х). График четной функции всегда симметричен относительно оси ординат.

Функция называется нечетной, если при изменении знака аргумента значение функции также меняется на противоположное, т. е. f(-х) = -f(х). График нечетной функции всегда симметричен относительно начала координат.

На рисунке приведены (для наглядности) графики четной, нечетной функции и функции, не имеющей никакой четности.

Пример 7

Выясним четность функций:

Прежде всего отметим, что области определения всех трех функций D(f) = (-∞; +∞) симметричные. Для выяснения четности этих функций f(х) надо найти значение f(-х) и сравнить значения f(х) и f(-х).

а) f(-х) = |-х| - (-х)² = |х| - х² (здесь учтено, что |-х| - |х| и (-х)² = х²). Теперь легко видеть, что f(-х) совпадает с данной функцией f(х), т. е. f(-х) = f(х). Поэтому данная функция четная и ее график симметричен относительно оси ординат.

б) f(-х) = -х - (-х)³ = -х + х³ = -(х – x³) = -f(х). Видно, что значения функции в точках х и -х противоположны по знаку, т. е. f(-х) = -f(x). Поэтому данная функция нечетная и ее график симметричен относительно начала координат.

в) f(-x) = -х - 2. Сравнивая значение f(-x) = -х - 2 со значением f(x) = x – 2, видим, что равенство f(-x) = f(x) не выполняется. Поэтому эта функция не является четной. Найдем теперь величину –f(x) = -(x - 2) = 2 - х. Сравнивая значение f(-x) = -х - 2 со значением –f(x) = 2 - х, видим, что равенство f(-x) = -f(x) также не выполняется. Поэтому эта функция не является нечетной.

Итак, данная функция никакой четности не имеет и ее график не обладает никакой симметрией.

6. Выпуклость графика функции

Функция у = f(x) выпукла вниз на промежутке X, если при соединении любых двух точек графика хордой часть графика располагается ниже этой хорды, т. е. , (где х₁х₂ ∈ X).

Функция у = f(x) выпукла вверх на промежутке X, если при соединении любых двух точек графика хордой часть графика располагается выше этой хорды, т. е. , (где х₁х₂∈ X).

Пример 8

Докажем, что функция f(х) = х² выпукла вниз в области определения.

Область определения функции D(f) = (-∞; +∞). Выберем произвольные значения x₁ и х₂(x₁ ≠ х₂) из этой области. Найдем: Покажем, что Действительно, получаем: или или или (х₁ - х₂)² > 0. Так как x₁ ≠ х₂, то имеем верное неравенство.

Мы доказали, что Тогда по определению функция f(х) выпукла вниз.

7. Непрерывность функции

Функция у = f(х) непрерывна на промежутке X, если при малом изменении аргумента функция меняется незначительно, т. е. при х₂ – x₁ → 0 разность f(х₂) – f(x₁) → 0. При этом графикнепрерывной функции сплошной и не имеет разрывов.

Пример 9

Покажем, что функция f(х) = х³ непрерывна в области определения.

Область определения функции D(f) = (-∞; +∞). Выберем произвольные значения x₁ и х₂ такие, что х₂ → х₁, т. е. х₂ – x₁ → 0. Найдем разность Так как х₂ – x₁→ 0, то и разность f(х₂) – f(х₁) → 0. Поэтому функция f(х) по определению является непрерывной.

Пример 10

Докажем, что функция имеет разрыв в точке х = 1.

Область определения функции D(f) = [-1; +∞). Из этой области выберем значения х₂ = 1 и x₁ (при этом x₁ < 1 и x₁ → 1, т. е. х₂ - x₁ → 0). Найдем разность f(х₂) – f(x₁) = 2 – х₁². Оценим эту разность. Так как x₁ < 1, то справедливо неравенство 0 ≤ х₁² < 1. Все части этого неравенства умножим на отрицательное число (-1). При этом знаки неравенства меняются на противоположные: 0 ≥ -х₁² > -1. Ко всем частям этого неравенства прибавим число 2 и получим: 2 ≥ 2 – х₁² > 1, т. е. f(х₂) – f(x₁) ≤ 2. Видно, что разность f(х₂) – f(x₁) не стремится к нулю, несмотря на то что разность х₂ - x₁ → 0. Поэтому в точке х = 1 функция имеет разрыв. В этом легко убедиться, построив график функции. Предлагаем самостоятельно доказать, что в остальных точках области определения функция является непрерывной.

IV. Контрольные вопросы

1. Как найти точки пересечения графика функции с осями координат?

2. Определение возрастающей (убывающей) функции.

3. Функция, ограниченная снизу (сверху).

4. Наименьшее и наибольшее значения функции.

5. Четность и нечетность функции.

6. Выпуклость графика функции.

7. Непрерывность функции.

V. Задание на уроках

§ 10, № 2 (в); 9 (а); 10 (б); 11 (а, б); 13 (в, г); 19 (а); 22 (в, г); 28 (а); § 11, № 1; 3 (а); 4 (6); 9 (а, б); 12(a); 14; 21 (а, в); 27.

VI. Задание на дом

§ 10, № 3 (г); 9 (б); 10 (а); 11 (в, г); 13 (а, б); 19 (б); 22 (а, б); 28 (г); § 11, № 2; 3 (г); 4 (в); 9 (в, г); 12 (б); 15; 21 (б, г); 28.

VII. Подведение итогов уроков