Поурочные разработки по алгебре для 8 класса к учебнику Ю.Н. Макарычева

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА - КВАДРАТНЫЕ КОРНИ

Цель: рассмотреть понятие квадратных корней и понятие арифметического квадратного корня.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Изучение нового материала (основные понятия)

Пример 1

Найти длину стороны квадрата, если его площадь равна 100 м2.

Пусть длина стороны квадрата равна x (м). Тогда площадь квадрата равна х2 м2. По условию эта площадь составляет 100 м2. Получаем уравнение х2 = 100. Запишем его в виде х2 - 100 = 0 и по формуле разности квадратов разложим левую часть на множители: х2 - 102 = 0 или (х + 10)(х - 10) = 0. Произведение множителей равно нулю, если один из них равен нулю. Получаем два линейных уравнения: х + 10 = 0 (его корень х = -10) и х - 10 = 0 (корень х = 10). Таким образом, уравнение х2 = 100 имеет два корня х = -10 и х = 10. Квадраты этих чисел равны 100. Поэтому такие числа называются квадратными корнями из числа 100. Так как длина стороны квадрата не может выражаться отрицательным числом, то условию задачи удовлетворяет только один из корней уравнения х = 10. Итак, длина стороны квадрата 10 м.

Квадратным корнем из неотрицательного числа а называют такое число b, что его квадрат равен числу а. В рассмотренном примере числа 10 и -10 были квадратными корнями из положительного числа 100, т. к. и 102 = 100 и (-10)2 = 100.

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число b, что его квадрат равен числу а. Арифметический квадратный корень обозначается символом . Таким образом, если выполнено соотношение b2 = а (а, b ≥ 0).

Символ называют знаком арифметического квадратного корня; выражение, стоящее под знаком корня, называют подкоренным выражением. Запись читают: «квадратный корень из а» (слово «арифметический» при этом опускают).

Пример 2

а) т. к. число b = 9, возведенное в квадрат, дает число а = 81, т. е. 92 = 81.

б) т. к. число b = 1/2 в квадрате дает число a = 1/4, т. е.

в) т. к. число b = 0 при возведении в квадрат дает число а = 0, т. е. 02 = 0.

г) — не имеет смысла, т. к. не существует такого числа b, чтобы его квадрат равнялся бы числу a = -4, т. е. уравнение b2 = -4 не имеет решения.

д) т. к. число b = с2 при возведении в квадрат дает число a = с4, т. е. (с2)2 = с4.

Из рассмотренного примера видно, что операция извлечения квадратного корня из числа обратна операции возведения числа в квадрат.

Обратите внимание на то, что арифметическим квадратным корнем всегда является неотрицательное число.

Пример 3

— арифметический квадратный корень, т. к. b = 3 ≥ 0 и b2 = (3)2 = 9 = а.

Заметим, что нельзя считать арифметическим квадратным корнем, хотя и выполняется соотношение b2 = (-3)2 = 9 = а. Однако b = -3 < 0 и это значение b — не арифметический квадратный корень.

Из рассмотренного примера следует, что т. к. арифметический квадратный корень должен быть числом неотрицательным.

Пример 4

Здесь учтено, что числа отрицательные.

Здесь по определению раскрыт модуль числа (с - 3).

Таким образом, число b является арифметическим квадратным корнем из числа а (т. е. ), если выполнены два условия: 1) b ≥ 0 и 2) b2 = a.

При а < 0 выражение не имеет смысла. Очевидно, что если подставить величину в условие 2, то получим тождество (справедливое при допустимых значениях а, т. е. при а ≥ 0).

С понятием арифметического квадратного корня связаны простейшие иррациональные уравнения и неравенства.

Пример 5

Решим уравнение

Запишем данное уравнение в виде и разделим обе части на число 2. Получим равносильное уравнение По определению арифметического квадратного корня имеем: 4х - 3 = 42 или 4х - 3 = 16. Решим это линейное уравнение и получим: 4х = 19 и

Пример 6

Решим уравнение

По свойству арифметического квадратного корня х ≥ 0 и х2 = х + 2. Решим полученное квадратное уравнение, записав его в виде х2 – х - 2 = 0. Разложим левую часть уравнения на множители: (х2 - 2х) + (х - 2) = 0 или х(х - 2) + (х - 2) = 0, или (х – 2)(x + 1) = 0. Так как произведение двух множителей равно нулю, то хотя бы один из них равен нулю. Получаем два линейных уравнения: х - 2 = 0 (его корень х = 2) и х + 1 = 0 (корень х = -1). Итак, квадратное уравнение х2 – х - 2 = 0 имеет два корня х = 2 и х = -1. Однако условию х ≥ 0 удовлетворяет только корень х = 2. Поэтому данное уравнение имеет единственное решение х = 2.

Пример 7

Решим уравнение

Произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а остальные множители при этом имеют смысл. Выражения х + 2 и х - 6 имеют смысл при любом значении х. Выражение имеет смысл только при х - 5 ≥ 0, т. е. х ≥ 5. Поэтому решения данного уравнения должны быть не меньше числа 5, т. е. х ≥ 5.

Первый множитель х + 2 в данном уравнении равен нулю при х = -2. Однако это решение не удовлетворяет условию х ≥ 5 и не является корнем данного уравнения. Второй множитель х - 6 = 0 при х = 6. Это число удовлетворяет условию х ≥ 5 и является корнем данного уравнения. Третий множитель если х - 5 = 02 или х - 5 = 0, откуда х = 5. Это число также удовлетворяет условию х ≥ 5 и является корнем данного уравнения. Итак, данное уравнение имеет два решения х = 6 и х = 5.

Пример 8

Решим неравенство

По определению арифметического квадратного корня выражение т. е. левая часть неравенства неотрицательна. Правая часть неравенства — отрицательное число -7. Очевидно, что неравенство будет верным при условии, что оно вообще имеет смысл. Неравенство имеет смысл, если имеет смысл выражение Это выражение имеет смысл, если подкоренное выражение х -3 ≥ 0, т. е. х ≥ 3. Итак, решение данного неравенства — все числа х, которые не меньше числа 3 (т. е. х ≥ 3).