Итоги контрольной работы - урок 10 - МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ - КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

Цели: сообщить результаты работы, рассмотреть наиболее типичные ошибки, разобрать трудные задачи.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Итоги контрольной работы

1. Распределение работ по вариантам и результатам решения. Данные о результатах работы удобно заносить в таблицу (для каждой пары вариантов).

№ задачи Итоги	1	2	3	...	6
+	5
±	1
—	1
Ø	1

Обозначения:

+ — число решивших задачу правильно или почти правильно.

± — число решивших задачу со значительными ошибками; .

— — число не решивших задачу;

Ø — число не решавших задачу. Вариант 1, 2 — 8 учеников.

2. Типичные ошибки, возникшие при решении задач.

3. Наиболее трудные задачи и их разбор (учителем или школьниками, сделавшими эту задачу).

4. Разбор всей контрольной работы (вывесить на стенде ответы к заданиям вариантов и разбор наиболее трудных вариантов).

III. Ответы и решения

Вариант I

1. Ответ: а) 0 ≤ х ≤ 3; б) х < -3, х > 1/2; в) х — любое число.

2. Ответ: -3 < х < 1.

3. Ответ: а) х ≤ -1, х ≥ 2; б) х ≤ -2, 0 ≤ х < 3.

Вариант 2

1. Ответ: а) х ≤ -4, х ≥ 0; б) -1 < х < 2/3; в) решений нет.

2. Ответ: х < -1, х > 3.

3. Ответ: а) -1 ≤ х ≤ 3; б) -2 ≤ х < 0, х > 3.

Вариант 3

1. Ответ: а) х < -1/3, х > 1/2; б) -1/4 ≤ х ≤ 3/2.

2. Ответ: а) х < -1, х > 2; б) х ≤ -3, -1 ≤ х ≤ 1, х ≥ 3.

3. Ответ: а) -3 ≤ х ≤ -1, х = 2; б) -5 < х ≤ -2, х ≥ 4.

Вариант 4

1. Ответ: а) 1/3 < х < 3/2; б) х ≤ -4, x ≥ 2/3.

2. Ответ: а) -2 < х < 1; б) -4 ≤ х ≤ -2, 2 ≤ х ≤ 4.

3. Ответ: а) х = -1, 2 ≤ х ≤ 3; б) х< -4, 1 ≤ х ≤ 3.

Решения

Вариант 5

1. а). В неравенстве перенесем число 3 в левую часть и приведем выражения к общему знаменателю: или Решим это неравенство методом интервалов. Числитель дроби имеет корни х = +3, знаменатель — корень х = -2. Нанесем эти корни на числовую ось и расставим знаки выражения Получаем решение данного неравенства х ≤ -3, -2 < х ≤ 3.

Ответ: х ≤ -3, -2 < х ≤ 3.

б) Раскроем скобки в неравенстве перенесем все члены в левую часть и приведем подобные члены. Получаем: или х2 – 36 > 0. Парабола у = х2 - 36 направлена ветвями вверх и пересекает ось Ох в точках х = ±6. Положительные значения функция y(х) принимает при х < -6 и х > 6.

Ответ: х < -6, х > 6.

2. Для решения неравенства построим графики функций y1 = (x + 1)2 (парабола, смещенная на одну единицу влево) и у2 = 1 - |х|. Видно, что значения функции у1 меньше значений функции у2 при -1 < х < 0.

Ответ: -1 < х < 0.

3. Данное выражение имеет смысл при выполнении двух неравенств: x2 – 2x – 35 ≥ 0 и 10 – х > 0. Решение первого неравенства х ≤ -5, х ≥ 7. Решение второго неравенства х < 10. Поэтому оба неравенства выполняются при х ≤ -5, 7 ≤ х < 10.

Ответ: х ≤ -5, 7 ≤ х < 10.

4. а) Для решения неравенства методом интервалов найдем корни числителя и знаменателя. Для числителя получаем |x - 3| - 2 = 0 или |х - 3| = 2, откуда х - 3 = ±2 и х = 3 ± 2, т. е. х1 = 1 и х2 = 5. Для знаменателя имеем: х2 - 2х - 48 = 0, откуда х3,4 = 1 ±7 , т. е. х3 =- 6 и х4 = 8. Нанесем эти корни на числовую ось и расставим знаки данного выражения в интервалах. Получаем решение неравенства х < -6, 1 ≤ х ≤ 5, х > 8.

Ответ: х < -6, 1 ≤ х ≤ 5, х > 8.

б) Данное неравенство ах2 - (а + 4)х + 4 > 0 при а = 0 становится линейным -4х + 4 > 0, откуда х > 1. При а ≠ 0 такое неравенство квадратное. Корни квадратного трехчлена т. е. x1 = 1 и х2 = 4/a. При а < 0 парабола направлена ветвями вниз и принимает положительные значения при 4/a < х < 1 (т. к. 4/a < 1). При а > 0 парабола y(x) направлена ветвями вверх. При 0 < a < 4 величина 4/a > 1 и решение неравенства х < 1, х > 4/a. При a = 4 величина 4/a = 1 и решение неравенства х < 1, х > 1. При a > 4 величина 4/a < 1 и решение неравенства х < 4/a, x > 1.

Учитывая все рассмотренные случаи, получим ответ.

Ответ: при a < 0 4/a < х < 1; при a = 0 х < 1; при 0 < а < 4 х < 1, х > 4/a; при а = 4 х< 1, х > 1; при a > 4 х < 4/a, х > 1.

Вариант 6

1. а) В неравенстве перенесем число 1 в левую часть и приведем выражения к общему знаменателю: или или Решим это неравенство методом интервалов. Числитель дроби имеет корни х = 3 (второй кратности), знаменатель — корень х = -4. Нанесем эти корни на числовую ось и расставим знаки выражения Получаем решение данного неравенства х < -4, х = 3.

Ответ: х < -4, х = 3.

б) Раскроем скобки в неравенстве перенесем все члены в левую часть и приведем подобные члены. Получаем: или х2 – 81 > 0. Парабола у = х2 - 81 направлена ветвями вверх и пересекает ось Ох в точках х = ±9. Положительные значения функция у(х) принимает при х < -9 и х > 9.

Ответ: х < -9, х > 9.

2. Для решения неравенства построим графики функций y1 = (x – 1)2 (парабола, смещенная на одну единицу вправо) и у2 = 1 - |x|. Видно, что значения функции у1 больше значений функции у2 при х < 0 и x > 1.

Ответ: х < 0, x > 1.

3. Данное выражение имеет смысл при выполнении двух неравенств: x2 + 4x – 45 ≥ 0 и 11 – x > 0. Решение первого неравенства х ≤ -9, х ≥ 5. Решение второго неравенства х < 11. Поэтому оба неравенства выполняются при х ≤ -9, 5 ≤ х < 11.

Ответ: х ≤ -9, 5 ≤ х < 11.

4. а) Для решения неравенства методом интервалов найдем

корни числителя и знаменателя. Для числителя получаем |х - 2| - 3 = 0 или |х - 2| = 3, откуда х - 2 = ±3 и х = 2 ± 3, т. е. х1 = -1 и х2 = 5. Для знаменателя имеем: х2 + 4х - 21 = 0, откуда х3,4 = -2 ± 5 , т. е. х3 = -7 и х4 = 3 . Нанесем эти корни на числовую ось и расставим знаки данного выражения в интервалах. Получаем решение неравенства -7 < х ≤ -1, 3 < х ≤ 5.

Ответ: -7 < х ≤ -1, 3 < х ≤ 5.

б) Данное неравенство при а = 0 становится линейным 2х - 2 < 0, откуда х < 1. При а ≠ 0 такое неравенство квадратное. Корни квадратного трехчлена т. е. х1 = 1 и х2 = -2/a. При а < -2 парабола направлена ветвями вниз и принимает отрицательные значения при х < -2/a и х > 1 (т. к. -2/a < 1). При а = -2 величина -2/a = 1 и решение неравенства х < 1, х > 1. При -2 < а < 0 величина -2/a > 1 и решение неравенства х < 1, х > -2/a. При а > 0 парабола у(х) направлена ветвями вверх и принимает отрицательные значения при -2/a < х < 1 (т. к. величина -2/a < 1). Учитывая все рассмотренные случаи, получаем ответ.

Ответ: при а < -2 х < -2/a, х > 1; при а = -2 х < 1, x > 1; при -2 < a < 0 х < 1, х > -2/a; при а = 0 х < 1; при a > 0 -2/a < х < 1.