Трапеция - Урок 2 - Планиметрия - Геометрия - Повышенный уровень 3

1437. В трапеции ABCD точки К и М — середины её оснований АВ и CD соответственно, причём DK и ВМ — биссектрисы соответственно ∠ADC и ∠ABC. Больший угол при нижнем основании равен 60°. Найдите периметр трапеции, если её высота равна 3√3.

1438. В трапеции ABCD точки К и М — середины оснований АВ и CD соответственно, причём DK и ВМ — биссектрисы ∠ADC и ∠ABC. Косинус меньшего угла при нижнем основании равен3/4. Найдите длину отрезка КМ, если периметр трапеции равен 30.

1439. Основания трапеции ABCD равны 18 и 12, диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, тангенс угла между боковыми сторонами равен 1/3. Найдите площадь трапеции.

1440. В параллелограмме АМР К биссектрисы углов при стороне AM делят сторону КР точками Т и F так, что PF : FT = 3:5. Найдите РК, если АК = 24.

1441. В параллелограмме АМР К биссектрисы углов при стороне AM делят сторону КР точками Т и F так, что РЕ : FT = 2:11. Найдите AM, если МР = 26.

1442. Сторона равностороннего треугольника АВС равна 10. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD : DC = 2:3. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются прямой ВС в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка ЕЕ.

1443. В треугольнике АВС АВ = 2√39, ВС = 14, АС = 10. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD : DC = 2:5. Окружности, вписанные

в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются прямой ВС в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка EF.

1444. В параллелограмме ABCD АВ = 20, биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками М и N так, что ВМ : MN = 2:3. Найдите ВС.

1445. В параллелограмме ABCD АВ = 40, биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками М и N так, что ВМ : MN = 3:5. Найдите ВС.

1446. В треугольнике АВС АВ = 5, ВС = 4, АС = 3. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD : DC =1:3. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороныAD в точках Е и F. Найдите длину отрезка ЕЕ.

1447. В треугольнике АВС АВ = 8, ВС = 5, АС = 7. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD : DC = 2:3. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороныAD в точках Е и F. Найдите длину отрезка EF.

1448. В трапеции ABCD точки К, L, М, N лежат соответственно на АВ, ВС, CD и DA так, что Найдите SKLMN, если ∠ADB = 30°, АВ = ВС = 6, sin ∠ABD = 2/3, ВС ll AD.

1449. Трапеция ABCD вписана в окружность, расстояния от центра окружности до её оснований ВС и AD равны 4 и 3 соответственно, синус угла ACD равен 0,8. Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого являются серединами сторон ABCD.

1450. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали АС и BD пересекаются в точке О так, что одна из них делится в отношении 1:2. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника ВОС равна 8.

1451. В трапеции ABCD точка N является серединой боковой стороны CD. Найдите площадь трапеции, если сторона АВ равна 7 см, а расстояние от точки N до стороны АВ равно 5 см.

1452. Длина общей касательной, проведённой к двум окружностям радиусами 4 и 8, равна 5. Найдите расстояние между центрами этих окружностей.

1453. Расстояние между центрами двух окружностей радиусами 1 и 7 равно 10. Найдите длину общей касательной, проведённой к этим окружностям.

1454. Две окружности радиусами R и r (R > r) касаются в точке А. Определите сторону равностороннего треугольника, одна из вершин которого находится в точке А, а две другие лежат на разных окружностях, если R = 5, r = 3.

1455. Расстояние между центрами двух окружностей равно 50. Одна из окружностей имеет радиус 25, вторая — 30. Некоторая прямая пересекает меньшую окружность в точках А и В и касается большей в точке С. Найдите длину хорды АВ, если АВ = 2ВС.

1456. В остроугольном ∆АВС сторона АВ равна 5√37, сторона ВС — 10√10, а высота из вершины В — 30. На прямой АС взяли точку D так, что AD : DC = 3:2. Найдите радиус окружности, описанной около ∆BCD.

1457. В остроугольном ∆АВС сторона АВ = √109, сторона ВС = √101, а высота из вершины В — 10. На прямой АС взяли точку D так, что AD : DC = 4:3. Найдите радиус окружности, описанной около ∆BCD.

1458. Две окружности с радиусами 36 и 9 внешне касательны. Найдите площадь правильного треугольника, вписанного в окружность, касательную к двум данным и к их общей касательной.

1459. Две окружности с радиусами 16 и 144 внешне касательны. Найдите площадь правильного треугольника, вписанного в окружность, касательную к двум данным и к их общей касательной.

1460. В прямоугольнике ABCD сторона АВ = 2 и AD = 1. К — точка на прямой АВ, из которой стороны AD и CD видны под одним и тем же углом, a L — точка на прямой CD, из которой под одинаковыми углами видны стороны АВ и ВС. Найдите площадь четырёхугольника AKCL.

1461. В прямоугольнике ABCD сторона АВ в 3 раза больше стороны AD. К — точка на прямой АВ, из которой стороны AD и CD видны под одинаковыми углами, a L — точка на прямой CD,из которой под одинаковыми углами видны стороны АВ и ВС. Найдите ВС, если площадь четырёхугольника AKCL равна 3.

1462. В окружность радиусом √5 вписана трапеция с основаниями 3 и 4. Найдите диагональ трапеции.

1463. В окружность радиусом √5 вписана трапеция с основаниями 1 и 4. Найдите боковую сторону трапеции.

1464. В трапеции ABCD точки К, F, Р и L являются точками пересечения медиан треугольников ABC, BCD, ACD и ABD соответственно. О — точка пересечения отрезков КР и FL. Через точку О проведена прямая, параллельная основаниям трапеции и пересекающая боковые стороны трапеции в точках М и N. Найдите длину отрезка MN, если основания трапеции равны 1 и 4.

1465. В трапеции ABCD точки К, F, Р и L являются точками пересечения медиан треугольников АВС, BCD, ACD и ABD соответственно. O — точка пересечения отрезков КР и FL. Через точку О проведена прямая, параллельная основаниям трапеции. В каком отношении эта прямая делит высоту трапеции, если основания трапеции равны 2 и 5?

1466. Из вершины А трапеции ABCD проведена биссектриса, которая пересекает диагональ BD в точке К. Найдите площадь трапеции, если АВ = 4, AD = 12, АК = 4,8, ВС = 3.

1467. Площадь параллелограмма ABCD равна 9√3. Сторона АВ = 3√3, ∠BCD = 30°. Найдите диагональ АС.

1468. Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 8 и 15, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите площадь этого четырёхугольника.

1469. Периметр равнобедренной трапеции равен 40. В трапецию вписана окружность радиуса 4. Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найдите отношение площади этого треугольника к площади трапеции.

1470. В трапеции ABCD диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны, ∠BAC = ∠CDB. Продолжения боковых сторон АВ и DC пересекаются в точке N, образуя угол 30°. Найдите площадь треугольника BNC, если площадь трапеции равна 20.

1471. Окружность вписана в трапецию ABCD, площадь которой равна 27. Боковые стороны трапеции АВ и DC продолжены до пересечения в точке Е. Расстояния от точки Е до оснований трапеции относятся как 1:2. Известно, что большее основание трапеции равно 9. Найдите АВ.

1472. В трапеции ABCD с основаниями АВ = 8 и DC — 5,5 диагонали АС и BD пересекаются в точке О под прямым углом. Найдите значение выражения АО ∙ ОС + ВО ∙ OD.

1473. В трапеции ABCD с основаниями АВ и DC диагонали АС и BD пересекаются в точке О под прямым углом. Найдите длину CD, если длина АВ равна 5, а значение выражения АО ∙ ОС + ВО ∙ OD равно 23.

1474. В равнобедренной трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна к боковой стороне АВ. Найдите ВС, если известно, что AD = 25, АВ + ВС = 27.

1475. В равнобедренной трапеции ABCD отношение длин оснований DC : АВ = 3:5, длина средней линии равна 8. Найдите расстояние от вершины трапеции до точки пересечения прямых, продолжающих её боковые стороны, если известно, что в трапецию можно вписать окружность.

1476. В трапеции угол между диагоналями равен 30°, и они делят острые углы трапеции пополам. Найдите площадь трапеции, если основание трапеции равно 8.

1477. В трапеции угол между диагоналями равен 45°, и они делят острые углы трапеции пополам. Найдите площадь трапеции, если основание трапеции равно 6.