Десятичная запись числа - Текстовые задачи - Арифметика и алгебра - Олимпиадные задачи

1512. Если к десятичной записи натурального числа а приписать справа запятую, а потом некоторый бесконечный набор цифр, то получится десятичная запись такого иррационального числа с, что (2с — 3)² = 3а² — 12с + 46. Найдите все возможные значения числа с.

1513. Если к десятичной записи натурального числа а приписать справа запятую, а потом некоторый бесконечный набор цифр, то получится десятичная запись такого иррационального числа с, что 2с² + с = 20a + 10. Найдите все возможные значения числа с.

1514. Найдите все такие пары взаимно простых натуральных чисел а и b, а < b, что если к десятичной записи числа b—а приписать справа через запятую десятичную запись числа 6, то получится десятичная запись числа, равного

1515. Найдите сумму всех трёхзначных натуральных чисел n, таких, что первая и последняя цифры числа n² равны 1.

1516. Пусть х — 5-значное натуральное число, состоящее из цифр от 1 до 9, взаимно простое с числом В = 10⁵ — 1. Найдите количество различных чисел (включая число х), взаимно простых с числом Б, получаемых из х циклической перестановкой цифр.

1517. Трёхзначные числа тип являются полными квадратами. Причём m получено из п уменьшением на число вида 111а, где а — натуральное число. Найдите все такие числа а.

1518. Найдите все такие пары однозначного числа а и двузначного числа 5, что если к десятичной записи числа а приписать справа через запятую десятичную запись числа Ъ и учетверить это число, то получится квадратный корень из трёхзначного числа, записанного, не меняя порядка, цифрами чисел а и 6.

1519. Обозначим через S(n) сумму цифр натурального числа n. Найдите все такие натуральные п, при которых n + S(n) = 2012.

1520. Если к двузначному числу а приписать справа двузначное число b, то полученное число будет в 3 раза больше произведения чисел а и b. Найдите эти числа.

1521. Можно ли составить из цифр 2, 3, 4, 9 (каждую цифру можно использовать неограниченное количество раз) два числа, одно из которых в 1234567789 раз больше другого?

1522. Найдите натуральное двузначное число, сумма цифр которого равна 14 и при увеличении которого на 46 получается число, произведение цифр которого равно 6.

1523. Найдите трёхзначное натуральное число, если сумма его цифр равна 12 и оно равно 107/41 числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке.

1524. Какую наименьшую сумму цифр может иметь число вида 6n² — n + 1 при натуральном числе n?

1525. Какую наименьшую сумму цифр может иметь число вида 8n² — 3n + 1 при натуральном числе n?

1526. Найдите все трёхзначные натуральные числа, квадрат которых оканчивается этим же числом.

1527. Найдите количество двузначных натуральных чисел, куб которых заканчивается этим же числом.

1528. Существует ли такое натуральное число n, при котором число 2ⁿ будет начинаться на 3842561?

1529. Существует ли такое натуральное число n, при котором число 7ⁿ будет начинаться на 100032452?

1530. Найдите все натуральные значения n, при которых число является квадратом натурального числа.

1531. Найдите трёхзначное число, зная, что число его единиц есть среднее геометрическое числа сотен и десятков. Если в его записи поменять местами цифры сотен и десятков и вычесть полученное число из искомого, то разность будет равна 270.

1532. Найдите все натуральные трёхзначные числа, каждое из которых обладает следующими двумя свойствами:

1) первая цифра числа в 4 раза меньше суммы двух других его цифр;

2) разность между самим числом и числом, получающимся из него перестановкой двух последних его цифр, неотрицательна и делится на 72 без остатка.

1533. Найдите наибольшее натуральное число, не оканчивающееся нулём, которое при вычёркивании одной (не первой) цифры уменьшается в целое число раз.

1534. Факториалом натурального числа n (пишут n!) называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно. Также по определению считается, что 0! = 1. Найдите все трёхзначные числа, равные сумме факториалов своих цифр.

1535. Четырёхзначное число А оканчивается цифрой 1. Двузначное число, образованное цифрами тысяч и сотен, цифра десятков и цифра единиц числа А — три последовательных члена арифметической прогрессии. Среди всех таких чисел А найдите то, у которого разность цифры десятков и цифры сотен наименьшая.