Поурочные разработки по Геометрии 11 класс

Объем цилиндра - Объем прямой призмы и цилиндра - ОБЪЕМЫ ТЕЛ

Цели урока:

- изучить с учащимися теорему об объеме цилиндра;

- выработать навыки решения задач с использованием объема цилиндра.

Ход урока

I. Организационный момент

Собрать тетради с домашней работой для проверки.

1. Поверка домашней работы.

Задача № 659 а). Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма. ∠BAC = 120°, АВ = 5 см, АС = 3 см, SBВ1С1C = 35 см2 (рис. 1).

Найдите: Vпр.

Решение:

1) .

2) Наибольшую площадь имеет боковая грань ВВ1С1С, так как сторона ВС - большая сторона ΔАВС (лежит против большего угла). Сторону ВС находим по теореме косинусов.

3) Найдем высоту призмы.

(Ответ: )

Задача № 661. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма. АВ = ВС, ∠AВС = α; А1С = l, ∠АСА1 = β (рис. 2).

Найти: Vпр.

Решение:

2) Из ΔАА1С:

3) Рассмотрим ΔABC. Проведем в нем высоту ВН; так как ΔАВС равнобедренный, то ВH является медианой и биссектрисой, т. е.

(Ответ: )

Задача № 663 в). Дано: правильная n-угольная призма. AB = a, AA1 = a, n = 6 (рис. 3).

Найти: Vпр.

Решение:

1) .

2) Socн. = 6SΔAOB. h = а. ΔАОВ - правильный,

(Ответ: 1,5а3√3.)

Задача № 663 г). Дано: правильная n-угольная призма. АВ = а, АА1 = а, n = 8.

Найти: Vпр.

Решение:

2) Найдем Socн., Socн. = 8SΔAOB. Рассмотрим ΔАОВ - равнобедренный, ∠AOB = 360/8 = 45°. Проведем ОН ⊥ АВ; ОН - высота, медиана и биссектриса.

(Ответ: )

2. Доказать теорему об объеме пирамиды.

3. Решить задачу № 663 (г).

II. Актуализация опорных знаний

Что называется цилиндром, осью цилиндра, высотой цилиндра? Что является разверткой боковой поверхности цилиндра? Что является основанием цилиндра? Что является осевым сечением цилиндра? Площадь поверхности цилиндра? Дайте определение многоугольника вписанного в окружность и описанного около окружности.

III. Объяснение новой темы

1. Определение призмы, вписанной в цилиндр.

2. Определение призмы, описанной около цилиндра.

Теорема. Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту (рис. 4).

Дано: цилиндр радиуса r и высотой h.

Доказать:

Доказательство: Введем следующие обозначения:

1) для цилиндра: Р - данный цилиндр, r - его радиус, S = πr2 - площадь основания, h - высота, V - объем.

2) для вписанной в цилиндр призмы: Fn - вписанная правильная n-угольная призма, Sn - площадь ее основания, h - высота (такая же, как у данного цилиндра).

3) для цилиндра, вписанного в призму Fn: Рn — вписанный цилиндр, rn - его радиус, h - высота (такая же, как у данного цилиндра Р и призмы Fn), Vn - объем. Впишем в данный цилиндр Р правильную n-угольную призму Fn, а в призму впишем цилиндр Pn. Объем призмы равен Sn · h, тогда Vn < Snh < V. Будем неограниченно увеличивать число n. Тогда rn → r при n → ∞. при n → ∞). Поэтому объем цилиндра Рn стремится к объему цилиндра Р. Из неравенства следует, что но Таким образом