Объем конуса - Объем наклонной призмы, пирамиды и конуса - ОБЪЕМЫ ТЕЛ

Цели урока:

- вывести формулу объема конуса с помощью определенного интеграла;

- рассмотреть следствие из теоремы, в котором выводится формула объема усеченного конуса.

- показать применение полученных формул при решении типовых задач.

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Актуализация знаний учащихся

Теоретический опрос.

Повторить понятия конуса n усеченного конуса.

1. Рассмотрим окружность L с центром в точке О и прямую ОР, перпендикулярную плоскость α. Каждую точку окружности соединим отрезком с точкой Р. Поверхность, образованная этими отрезками, называется... (рис. 1).

2. Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом, называется:

а) Цилиндром.

б) Конусом.

в) Пирамидой.

3. Установите соответствие между элементами конуса (рис. 2).

a) SO .

б) SA, SB -

b) S -

г) ОА -

д) ∠α.

4. Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг (рис. 3):

а) гипотенузы РВ;

б) катета РА;

в) отрезка AS.

5. Выберите чертеж с сечением, перпендикулярным оси конуса (рис. 3 а), б), в)).

6. Возьмем произвольный конус и проведем секущую плоскость, перпендикулярную к его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усеченным конусом.

7. Установите соответствие (рис. 4).

а) ОК .

6) О1К1 .

в) АР -

г) O1O -

8. Вращением какой трапеции вокруг ее боковой стороны может быть получен усеченный конус?

а) любой;

б) прямоугольной;

в) равнобедренной.

Повторить вопросы планиметрии.

1) Записать формулу для вычисления площади круга (S = πR2).

2) Дать определение подобия фигур.

3) Сформулировать признаки подобия треугольников.

Повторить конспект урока № 39.

В прямоугольной системе координат на плоскости рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную графиком непрерывной неотрицательной функции f(x), осью абсцисс и прямыми х = а и х = b (а < b). Рассмотрим тело, полученное вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапецией (рис. 5).

Очевидно, что сечение этого тела плоскостью, проходящей через точку с абсциссой х ∈ [а; b] и перпендикулярной оси Ох, есть круг (или точка) радиуса f(x). Следовательно, площадь S(x) этого сечения равна S(x) = πf2(x), а объем рассматриваемого тела вращения вычисляется по формуле (рис. 6).

III. Изучение нового материал.

Теорема. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту (рис. 7).

Доказательство: Данный конус можно рассматривать как тело, полученное вращением прямоугольного треугольника с вершиной в точках О(0; 0), В(Н; 0), А(Н; R) вокруг оси Ох. Уравнение прямой ОА имеет вид: у = kх, где Треугольник ОАВ является частным видом криволинейной трапеции, которая ограничена осью абсцисс, графиком функции и прямой х = Н.

Поэтому объем конуса можно найти с помощью формулы (1), то есть Площадь основания конуса равна S = πR2, поэтому Теорема доказана.

Следствие. Объем усеченного конуса с радиусами оснований r и R и высотой H вычисляется по формуле

Доказательство (рис. 8): Усеченный конус можно получить вращением вокруг оси Ох трапеции ОАВС. Прямая АВ проходит через точки (0; r) и (Н; R), поэтому она имеет уравнение (уравнение прямой вывести самостоятельно). Используя формулу (1), получим

Для вычисления интеграла сделаем замену Очевидно, когда х изменяется в пределах от 0 до H, перемещаясь, изменяется от r до R, и поэтому

Следствие доказано.

Формулу доказать самостоятельно.

IV. Закрепление изученного

1. Решить (устно) задачи с целью закрепления формул для вычисления объемов конуса и усеченного конуса.

№ 1. Вычислите объем конуса, если его высота 6 см, а площадь основания 42 см2. (Ответ: 84 см3.)

№ 2. Объем конуса с радиусом основания 4 м и высотой 6 м равен: (Ответ: 32π м3.)

№ 3. Найдите площадь основания конуса, если его объем равен 256 см3, а высота 4 м. (Ответ: 252 см2.)

№ 4. Вычислите объем усеченного конуса, высота которого 3 см, а площадь оснований 16 см2 и 4 см2. (Ответ: 32 см3.)

№ 5. Вычислите объем усеченного конуса, если радиусы его оснований равны 3 см и 9 см, а высота 6 см. (Ответ: 234π см3.)

2. Решить в рабочих тетрадях и на доске задачи:

№ 1. Образующая конус l составляет с плоскостью основания угол α. Найдите объем конуса.

№ 2. Радиусы оснований усеченного конуса R и r; образующая наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите объем конуса.

№ 3. Длина образующей конуса равна l, а длина окружности основания С. Найдите объем конуса.

Решение задач.

№ 1. (рис. 9).

ΔРАВ - осевое сечение конуса, РА = РВ = l, РО - высота, Из ΔAPO (∠O = 90°): (Ответ: )

№ 2. (рис. 10).

(R > r)

I способ:

Дополнить усеченный конус до полного и тогда где Из ΔAPO (∠O = 90°): ∠APO = 45°, значит, РО = AO = R. Из ΔА1PO1 (∠O = 90°): ∠A1 = 45°, значит,

II способ:

Рассмотреть трапецию AA1O1О (рис. 11).

Д.П.: Из ΔАА1А2 (∠A2 = 90°): ∠AA1A2 = 45°, значит, (Ответ: )

№ 3. (рис. 12).

ΔAPB – осевое сечение конуса. Из ΔAPO(∠O = 90°): по теореме Пифагора (Ответ: )

V. Подведение итогов

- Как найти объем усеченного конуса?

- Отметим, что формула объема усеченного конуса такая же, как и формула объема усеченной пирамиды.

Записать домашнее задание.

П. 70. № 701, 704, 709.

- вывести самостоятельно.

- вывести самостоятельно.

Дополнительная задача: Равносторонний треугольник вращается вокруг своей стороны а. Найдите объем полученного тела вращения.