Поурочные разработки по Геометрии 11 класс

Решение задач на нахождение объема конуса - Объем наклонной призмы, пирамиды и конуса - ОБЪЕМЫ ТЕЛ

Цели урока:

- закрепить знания и умения по теме «Объем конуса»;

- совершенствовать навыки решения задач.

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Актуализация знаний учащихся

1. Проверка домашнего задания: у доски - № 708, дополнительная задача, вывод формулы Vk и Vус.к.; с места - № 701, 704.

2. Решение задач по готовым чертежам.

3. Решение задач у доски и в рабочих тетрадях.

III. Самостоятельная работа с последующей самопроверкой

IV. Подведение итогов

1. Записать домашнее задание.

П. 70, № 702, 705, 703.

Домашняя контрольная работа (см. приложение)

Дети получают ксерокопии домашних контрольных задач.

1. Проверка домашнего задания.

Задача № 701. Пусть h, r и V соответственно высота, радиус основания и объем конуса. Найдите: а) V, если h = 3 см, r = 1,5 см; б) h, если r = 4 см, V = 48π см3; в) r, если h = m, V = p.

Решение:

a) (Ответ: V = 2,25π см3.)

б) из формулы (Ответ: h = 9 см.)

в) из формулы (Ответ: )

Задача № 708. Радиусы оснований усеченного конуса равны 3 м и 6 м, а образующая равна 5 м. Найдите объем конуса.

Дано: усеченный конус, r = О1С = 3 м, ОВ = R = 6 м, СB = 5 м (рис. 1).

Найти: Vус.п.

Решение: Проведем СС1 ⊥ АВ, O1С = OС1 = 3 м, C1B = 6 - 3 = 3 (м). Из ΔСВС1 (∠C1 = 90°) по теореме Пифагора отсюда

Задача № 704. Дано: конус, h = SO = AB = H (рис. 2).

Найти: V.

Решение: (Ответ: )

Дополнительная задача: Равносторонний треугольник вращается вокруг своей стороны а. Найдите объем полученного тела вращения.

Дано: ΔАВС, АВ = ВС = АС = а, АС - ось вращения (рис. 3).

Найти: объем тела вращения.

Решение: Объем тела вращения равен сумме объемов двух равных конусов. (из ΔAOB (∠O = 90°) по теореме Пифагора (Ответ: )

Заслушать учащихся, выводивших формулы для Vк и Vус.к..

2. Решение задач по готовым чертежам.

№ 1. Установите соответствие фигур и формул для нахождения объема (рис. 4 а), б), в)).

№ 2. Образующая конуса равна 60 см, высота 30 см. Найдите Vк (рис. 4).

Решение: Из ΔАOР (∠O = 90°): Так как РО = 1/2АР, то (Ответ: V = 27000π см3.)

№ 3. Образующая конуса, равна 12 см, наклонена к плоскости основания под углом 30° (рис. 5).

Найдите объем конуса.

Решение: Из ΔАSO (∠O = 90°): (Ответ: V= 216π см3.)

№ 4. Радиус оснований усеченного конуса 6 см и 10 см. Образующая наклонена к плоскости большего основания под углом 60°.

Найдите: Vус.к..

Дано: α = 60°, R = 10 см, r = 6 см (рис. 6).

Найти: Vус.к..

Решение: (Ответ: )

№ 5. Образующая конуса 8 см, а угол при вершине осевого сечения 60°.

Найдите объем конуса.

Решение: (рис. 7):

(Ответ: )

№ 6. Найдите объем усеченного конуса, если его осевое сечение трапеция с основаниями 8 см, 6 см и высотой 3 см (рис. 8).

Решение: (Ответ: V = 37π см3.)

3. Решение задач у доски и в рабочих тетрадях.

№ 1. Доказать, что если прямой круговой конус пересечь плоскостью, параллельной основанию, то площади сечения и основания будут относиться как квадраты их расстояний от вершины.

Дано: конус, S - площадь основания, S1 - площадь сечения (рис. 9).

Доказать:

Решение: Сечением прямого кругового конуса плоскостью, параллельной основанию, является круг. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник.

Из подобия ΔASB и ΔA1S1B1 (рис. 10) находим следовательно,

Что и требовалось доказать.

(Ответ: задача доказана.)

№ 2. Разность между образующей конуса и его высотой равна d, а угол между ними равен α. Найдите объем конуса.

Дано: конус, SO - высота, SB - образующая. SB - SO = d, ∠BSO = α (рис. 11).

Найти: V.

Решение: Из ΔSOB (∠O = 90°): По условию SB - SO = d. Имеем Итак,

(Ответ: )

№ 3. Усеченный конус, у которого R1 = 22 см, R2 = 4 см, требуется превратить в равновеликий цилиндр такой же высоты. Чему равен радиус основания этого цилиндра?

Дано: цилиндр, усеченный конус, R1 = 22 см, R2 = 4 см, Vц. = Vк.

Найти: R (радиус цилиндра).

Решение: Н - общая высота тел, R - радиус цилиндра. Vц. = Vк., (Ответ: R = 14 см.)

Самостоятельная работа (см. приложение)

Ответы к задачам самостоятельной работы:

Вариант I. V = 24π см3. V = 9π м3

Вариатн II.

Решение самостоятельной работ.

Вариант 1

№ 1. Из ΔCBD (∠D = 90°); Из ΔSCB: Из ΔSOB (∠O = 90°): (Ответ: V = 24π см3.)

№ 2. Дано: конус, ΔАРВ - осевое сечение, АР = РВ, ∠P = 90°. SΔAPB = 9 м2 (рис. 14).

Найти: Vк.

Решение: Н = РО, R = АО, l - образующая конуса, ∠A + ∠B = 90°, ∠A = ∠B = 45°. Из ΔАРО (∠O = 90°): ∠APO = ∠PAO = 45°, значит, AO = PO = R = H. По теореме Пифагора (Ответ: V = 9π м3..

Вариант II

№ 1. Дано: усеченный конус, ВВ1 = 6 см, ∠BAB1 = 30°, ∠AB1B = 90° (рис. 15).

Найти: Vус.к..

Решение: АВ = 12 см, R = ОВ = 6 см, ∠ABB1 = 60°. Проведем В1В2 ⊥ АВ. Из ΔBB1B2 (∠B2 = 90°): ∠B1 = 30°, значит, ВВ2 = 3 см, тогда, (Ответ: )

Решение домашней работы

№ 702. Дано: конус, РО = 5 см, РО1 = 2 см, V1 = 24 см3 (рис. 16).

Найти: Vк..

Решение: Н = РО - высота конуса, V1 – объем меньшего конуса, АО = R, A1O1 = R. ΔРО1А1 ~ ΔРОA, тогда,

(Ответ: V = 375 см3.)

№ 705. Дано: конус, ΔASB - осевое сечение, SΔASB = 60 см2, SB = SA = 13 см (рис. 17).

Найти: Vк..

Решение: Из ΔSOB (∠O = 90°): Из (1) и (2):

тогда При R = 5, H = 12, тогда (Ответ: 240π см3 или 100π см3.)

№ 703. Дано: конус, Sосн. = Q, Sбок. = Р (рис. 18).

Найти: Vк..

Решение: где R - радиус основания, H - высота. l - образующая,

(Ответ: )

Решение домашней контрольной работ.

№ 1. Дано: ΔАВС, АС = ВС = a, ∠C = α. l || СВ, l - ось вращения (рис. 19).

Найти: объем полученного тела вращения.

Решение: Проведем CL || l и ВK ⊥ l, тогда Vтела = Vu – V1 - V2, где Vu – объем цилиндра, полученного вращением прямоугольника KBCL, V1 и V2 - объемы конусов, образующихся вращением ΔАКВ и ΔALC. так как LC = КВ, a BC = AK + AL, то ВС = а, Из ΔALC (∠L = 90°) : LC = asinα, поэтому (Ответ: )

№ 2. Дано: конус, АР = √6 см, ∠PAB = 45° (рис. 20).

Найти: V.

Решение: R = AO, H = РО. Из ΔAОР ((∠O = 90°): ∠APO = 45°, значит, AO = PO = R=H. По теореме Пифагора 2R2 = 6, R2 = 3, R = H = √3. (Ответ: V = π√3 см3.)