Поурочные разработки по Геометрии 11 класс

Объем шара - урок 2 - Объем шара и площадь сферы - ОБЪЕМЫ ТЕЛ

Цель урока:

- совершенствовать навыки решения задач на применение формул для вычисления объема шара.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний учащихся

Три ученика вызываются к доске и получают задания:

а) вывести формулу для вычисления объема шара;

б) кратко записать решение домашнего задания № 710 а), б), 711;

в) краткое решение № 713.

Задача № 710 а). Дано: R = 4 см.

Найти: V и S.

Решение. (Ответ: )

Задача № 710 б). Дано: V = 113,04 см3.

Найти: S.

Решение. (Ответ: 36π см2.)

Задача № 711.

Решение: если то (Ответ: в 4 раза.)

Задача № 713.

Решение: h= 12 см, r = 5/2 = 2,5 см. (Ответ: 125/6π см3.)

Надо сравнить объемы конуса и шара: 25π и 125/6π, 150 и 125. Так как 150 > 125, то 25π > 125π/6, Vк > Vш., то есть растаявшее мороженое уместится в стаканчике.

Пока ученики готовятся у доски, остальным учащимся предлагается ответить на вопросы математического диктанта через копирку. Предлагается два варианта.

Математический диктант.

1. Вычислите объем шара, если его радиус R = 6 см. [R = 5 см].

2. Вычислите диаметр шара, если его объем V = 36π. [V= 32π/3].

3. Объем шара равен 256π/3 см3. [288π см3]. Найдите площадь большего круга [длину окружности большего круга].

4. В цилиндр вписан шар радиуса R = 1 [R = 2]. Найдите отношение Vцил. : Vшара [Vшара : Vцил.].

5. Для вычисления объема шара ученик предложил свою формулу

Какие он должен дать пояснения, подтверждающие правильность этой формулы?

Ответы к математическому диктанту:

Вариант I 1. 228π; 2. 3; 3. 16π; 4.

Вариант II 1. 500π/3; 2. 2; 3. 12π; 4.

Проверяются ответы на вопросы диктанта, слушается доказательство, проверяется домашнее задание.

III. Формирование умения и навыков учащихся

1. Разобрать и решить задачу. Один из учащихся решает задачу у доски, остальные в тетрадях. Учитель контролирует правильность решения, при необходимости задает наводящие вопросы.

Задача. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 10√3, а угол боковой грани с плоскостью основания равен 60°. Найдите объем шара, вписанного в пирамиду (рис. 1).

Решение: Рассмотрим сечение, проведение через высоту пирамиды и две апофемы. В сечении получается ΔАВС - равносторонний. Радиус вписанной в него окружности будет равен (Ответ: .)

2. Подробно разбирается решение задачи у доски и записывается учениками в тетрадях.

Задача. В шар вписана правильная треугольная призма так, что ее высота вдвое больше стороны основания. Найдите объем шара, если объем призмы равен 27/π (рис. 2).

Решение:

1) Пусть х - сторона основания. Тогда высота призмы 2х. Ее объем V = Sосн. · h. По условию

2) Радиус R найдем из ΔOO1A1. O1A1 - радиус описанной окружности около треугольника A1B1C1. , так как О - середина О1О2.

Объем шара (Ответ: V = 64.)

3. Один ученик решает задачу у доски, остальные записывают решение в тетрадях.

Задача. В конус, осевое сечение которого равносторонний треугольник, вписан шар. Найти объем шара, если объем конуса равен 27 (рис. 3).

Решение: В осевом сечении комбинации тел получим равносторонний треугольник (по условию) и вписанный в него круг.

Радиус шара равен радиусу круга, а диаметр основания конуса равен стороне АС треугольника. Пусть х - радиус основания конуса. Тогда АС = 2х, высота BM = x√3 (из ΔВMС). Объем конуса V = 27. (Ответ: )