Повторение по теме: «Комбинации с вписанными сферами» - ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ КУРСА ГЕОМЕТРИИ 10-11 КЛАССОВ

Цели урока:

- систематизировать теоретические знания о комбинациях тел;

- научить учащихся решать задачи на комбинации с вписанными сферами.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний учащихся

Проверка домашнего задания.

Задача № 748 (рис. 1).

Решение: Из ΔАОК по определению синуса угла - радиус основания конуса, Из ΔFОК по определению котангенса угла

(Ответ: )

Задача № 749 (рис. 2).

Решение: Из ΔKON по определению тангенса (Ответ: )

Пока идет проверка домашнего задания провести индивидуальную работу по карточкам (см. приложение).

Ответы:

I уровень: 24R2; 8R3.

II уровень: 100π; 500π/3.

III уровень: 36п; 36π.

Решение карточек

Карточка 1

Дано: шар вписан в параллелепипед, OO1 = R (рис. 3).

Найти: Sполн.

Решение: Так как шар вписан, то OO2 = MN, значит ABCDA1B1C1D1 - куб. АВ = 2R, тогда (Ответ: 24R2.)

Карточка 2

Дано: шар вписан в призму, АВ = ВС, O1М = R (рис. 4).

Найти: Vпризмы.

Решение: Так как шар вписан в призму, то эта призма будет являться кубом со стороной 2R. (Ответ: 8R3.)

Карточка 3

Дано: АВСА1В1С1 - призма, ∠ACB = 90°, АВ = 25, С1Н = 12, сфера вписана в призму (рис. 5).

Найти: Scферы.

Решение: по свойству высоты, проведенной из вершины прямого угл.

или Тогда НВ1 = 16 или НВ1 = 9. Найдем радиус окружности, вписанной в ΔА1В1С1, который будет являться радиусом сферы. Из ΔC1HB1 по теореме Пифагора из ΔА1С1H:

Найдем Scферы. (Ответ: 100π.)

Карточка 4

Дано: шар вписан в прямую призму, ∠ACB = 90°, АС = 15 см, А1Н = 9 см (рис. 6).

Найти: Vшара.

Решение: Из ΔА1С1Н по теореме Пифагора по свойству высоты, проведенной из вершины прямого угла, тогда

Найдем радиус окружности, вписанной в ΔА1В1С1, который будет являться радиусом сферы (Ответ: )

Карточка 5

Дано: шар вписан в прямую призму, ABCD - трапеция, ∠ABC = ∠BAD = 90°, ВС = 4 см, AD = 12 см (рис. 7).

Найти: Scферы.

Решение: Найдем радиус окружности, вписанной в трапецию ABCD, который будет являться радиусом сферы. Пусть АВ = х, тогда СК = х, KD = AD - AK, KD = 12 - 4 = 8 (см). Из ΔCKD по теореме Пифагора найдем CD: Так как в трапецию вписана окружность, то АВ + CD = AD + ВС. Составим и решим уравнение уравнение равносильно системе: Значит, АВ = 6, но АВ - диаметр вписанной окружности, следовательно, (Ответ: 36π см2.)

Карточка 6

Дано: шар вписан в прямую призму, ABCD - трапеция, AB = CD, ВС = 2 см, AD = 18 см (рис. 8).

Найти: Scферы.

Решение: Опустим из вершин В и С перпендикуляры к AD. FE = 2 см, тогда AF = ED = 8 см. Так как окружность вписана в трапецию (ее радиус будет равен радиусу сферы), то АВ + CD = AD + ВС, но AB = CD, 2АВ = 2 + 18, АВ = 10 см. По теореме Пифагора из ΔABF найдем BF: BF - диаметр, значит r = 3 см. Найдем Scферы. (Ответ: 36π.)

III. Самостоятельное решение задач

Задача № 750 (рис. 9).

Решение: пусть AO = R, тогда АВ = 2R. (Ответ: 1,5.)

Задача № 752 (рис. 10).

Решение: из ΔАОК по теореме Пифагора AF = AO - как отрезки касательных, проведенных из одной точки. ΔAKO ~ ΔFKO2 (∠AOK = ∠O1FK = 90°. ∠AKO - общий) по первому признаку подобия треугольников. Из подобия треугольников следует Найдем длину l1 линии, по которой сфера касается конуса.

(Ответ: )

Наводящий вопро.

- Почему ∠KFO1 = 90°.

Задача № 753 (рис. 11).

Решение: S = πr2 - площадь нижнего основания, S1 = πr12 - площадь верхнего основания. AO2 = AK = r, DO1 = DK = r1 - как отрезки касательных, проведенных из одной точки. Тогда AD = r + r1, АМ = АO2 - МO2 = АO2 – DO1 = r – r1. Из ΔAMD по теореме Пифагора тогда Найдем отношение объема усеченного конуса к объему шара. (Ответ: )

Дополнительная задача (относится к третьему уровню).

В полушар вписан цилиндр, причем одно из оснований цилиндра лежит в плоскости диаметрального круга полушара, а высота цилиндра вдвое меньше радиуса полушара. Найдите отношение объема цилиндра к объему полушара.

Решение: пусть OF = 2R, тогда CD = R. Из ΔOCD по теореме Пифагора найдем OD,

(Ответ: 9/16.)

IV. Подведение итогов года