Матрицы и операции над ними - ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Определение. Матрицей размерности m х n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов.

Числа, входящие в эту таблицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавита А, B, С и т. д. Элементы матрицы обозначаются той же буквой, что и матрица, строчной буквой с двумя индексами (aij, bij, сij). Первый индекс указывает номер строки, в которой располагается данный элемент, а второй — номер столбца. Например, а35 означает элемент матрицы А, расположенный в третьей строке и в пятом столбце.

Общий вид. матрицы А размера m х n

Матрица называется квадратной порядка n, если она состоит из n строк и n столбцов.

Совокупность элементов квадратной матрицы а11, а22, аnn, стоящая на диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, называется главной диагональю квадратной матрицы.

Совокупность элементов квадратной матрицы, стоящая на диагонали, идущей из левого нижнего угла в правый верхний угол, называется побочной диагональю квадратной матрицы.

Матрица, все элементы которой равны нулю, кроме элементов главной диагонали, называется диагональной.

Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны 1, называется единичной (обозначается символом Е или I).

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

Операции над матрицами

1. Сравнение матриц. Две матрицы одинаковой размерности называются равными, если равны их соответствующие элементы.

То есть из равенства матриц А и В следует, что aij = bij, где i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n.

ч ч

2. Транспонирование матриц. Транспонированной АT матрицей матрицы А называется матрица, строки которой являются столбцами матрицы А, а столбцы — строками.

Пример.

3. Сложение матриц. Суммой матриц А та. В одинаковой размерности является матрица С той же размерности, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Следовательно, из С = А + В следует, что сij = aij + bij, где i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n.

Пример.

Тогда

Свойства операции сложения:

1) А + В = В + А;

2) А + (В + С) = (А + В) + С;

3) А + 0 = А, где 0 — нулевая матрица.

4. Умножение матрицы на число. Произведением числа α на матрицу А называется матрица С той же размерности, все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы А, умноженным на число α.

Значит, если С = α ∙ А, то cij = α ∙ aij, где i = 1, 2, ..., m, j= 1, 2, ..., n.

Пример.

Свойства операции умножения матрицы на число:

1) α(λА) = (αλ)A;

2) (α + λ)А = αА + λА;

3) α(А + В) = αA + λВ, где α и λ — числа.

5. Умножение матриц. Произведением матрицы А размерности m x р на матрицу B размерности р х n называется матрица С размерности m х n элемент сij (расположенный в i-й строке и j-м столбце), которой равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B.

Пример.

Тогда

Свойства операции умножения матриц:

1) А ∙ В ≠ В ∙ А в общем случае выполняется указанное неравенство, хотя в некоторых частных случаях А ∙ В = В ∙ А;

2) А ∙ (В ∙ С) = (А ∙ В) ∙ С;

3) А ∙ (В + С) = А ∙ С + В ∙ С;

4) (А + В) ∙ С= А ∙ С + В ∙ С;

5) А ∙ Е = Е ∙ А = А.