Определители - ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Каждой квадратной матрице А можно поставить в соответствие некоторое число, зависящее от ее элементов, которое называется определителем матрицы |А|. Иногда пользуются другими обозначениями определителя матрицы - det(A) или ∆(А).

Определителем матрицы второго порядка называется число

Определителем матрицы третьего порядка называется число

Определители матриц более высокого порядка имеют еще более громоздкие выражения, поэтому ими не пользуются. При вычислении определителей порядка более третьего используют свойства определителей.

Свойства определителей

1. Величина определителя не изменяется при транспонировании |А| = |АТ|.

2. Величина определителя не изменяется при четном числе перемен местами двух его строк или столбцов. Например, если поменять местами вторую и шестую строки, то вторая строка поменяется местами с третьей, потом с четвертой, с пятой и затем с шестой, имеем 4 перемены мест (четное число) и определитель не изменится.

3. Определитель изменит только свой знак при нечетном числе перемен местами двух его строк или столбцов. Например, если поменять местами первый и четвертый столбцы, то первый столбец поменяется местами со вторым, затем с третьим и с четвертым, имеем 3 перемены мест и определитель изменит лишь свой знак.

4. Если все элементы некоторой строки или некоторого столбца определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

5. Если соответствующие элементы двух строк или столбцов определителя равны или пропорциональны, то определитель равен нулю.

6. Если все элементы какой-нибудь строки или столбца определителя умножить на одно и то же число, то весь определитель умножается на это число.

7. Если к каждому элементу какой-нибудь строки (или столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на некоторое число, то величина определителя при этом не изменится.

8. Суммой двух определителей одинакового порядка |А| и |В|, которые отличаются лишь элементами какой-нибудь строки или какого-нибудь столбца, является определитель |С| того же порядка, все элементы которого равны элементам определителей |А| и |В|, кроме элементов указанной выше строки или столбца, равных сумме соответствующих элементов этой же строки или столбца определителей |А| и |В|.

Если определители |А| и |В| отличаются, например, лишь элементами k-й строки

то суммой этих определителей будет определитель |С|, равный

Минором Мij определителя |А| называется определитель, который получается из определителя |А| посредством вычеркивания i-й строки и j-го столбца.

Например, минором М23 определителя

будет определитель, полученный из определителя |А| вычеркиванием второй строки и третьего столбца

Алгебраическим дополнением элемента Aij элемента аij определителя называется минор Мij, взятый со знаком плюс, если сумма индексов i + j четная, и со знаком минус, если сумма индексов нечетная

Например, алгебраическое дополнение элемента а23 приведенного выше определителя |А| равно

Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки или любого его столбца на их алгебраические дополнения.

Например, определитель

можно представить в виде разложения по элементам третьей строки

или в виде разложения по элементам второго столбца

Сумма произведений элементов любой строки (или столбца) определителя на алгебраические дополнения другой строки (столбца) равна нулю.

Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц |А ∙ В| = |А| ∙ |B|.