Дифференциал функции. Теорема о дифференцируемых функциях - ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Рассмотрим приращение функции у = f(x) в точке x0 и представим его в виде

где α(∆x) — бесконечно малая величина более высокого порядка малости, чем ∆х.

Главная линейная по ∆х часть приращения функции А∆х называется ее дифференциалом df(x)

Функция, имеющая дифференциал в некоторой точке, называется дифференцируемой, а операция определения дифференциала называется дифференцированием.

Определение. Точка х0 называется точкой локального максимума функции f(x), если существует некоторая окрестность Uδ(x0) этой точки, для всех точек которой справедливо неравенство f(x) ≤ f(x0).

Точка x0 называется точкой локального минимума функции f(x), если существует некоторая окрестность Uδ(x0) этой точки, для всех точек которой справедливо неравенство f(x) ≥ f(x0).

Точки локального максимума и минимума функции имеют общее название точек экстремума.

Теорема Ферма. Если х0 является точкой экстремума функции f(x), и если в этой точке существует производная, то она равна нулю.

Геометрически эту теорему можно интерпретировать следующим образом: касательная, проведенная к графику функции, в точке экстремума имеет угловой коэффициент, равный нулю, то есть параллельна оси абсцисс.

Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], имеет производную на интервале (а, b) и принимает на концах данного интервала одинаковые значения f(а) = f(b), то существует хотя бы одна точка с ∈ [а, b], такая, что f’(c) = 0.

Геометрический смысл теоремы Ролля: если функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, то на отрезке [а, b] существует хотя бы одна точка, в которой касательная, проведенная к графику функции, параллельна оси абсцисс.

Теорема Коши. Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [а, b], имеют производные на интервале (а, b) и g’(x) ≠ 0 на интервале (а, b), то существует хотя бы одна точка с ∈ (а,b), такая, что

Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], имеет производную на интервале (а, b), то существует по крайней мере одна точка с ∈ (а, b), в которой f(b) - f(a) =f’(c)(b - а).

Геометрический смысл теоремы Лагранжа: если функция f(x) на отрезке [а, b] удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа, то на интервале (а, b) найдется по крайней мере одна точка, в которой касательная, проведенная к графику функции f(x), будет параллельна хорде, стягивающей концы графика данной функции, построенного на отрезке [а, b].