Исследование функций - ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Исследование функций проводится по следующему плану:

1. Находится область определения функции.

2. Находятся точки пересечения графика функции с осями координат.

3. Определить, является ли функция четной или нечетной.

4. Определяются интервалы возрастания и убывания функции, точки ее экстремумов.

5. Определяются интервалы выпуклости и вогнутости графика функции.

6. Находятся асимптоты графика функции.

7. Строится график функции.

Пример. Исследуем функцию

1. Областью определения функции будет вся числовая ось, за исключением тех точек, в которых знаменатель обращается в ноль х2 - 1 = 0, то есть за исключением точек х = -1 и х = 1.

2. Для определения точек пересечения графика функции с осью ОХ следует решить уравнение которое имеет единственное решение х = 0. Таким образом, график пересекает ось ОХ в точке х = 0.

Положив х = 0, можно найти точку пересечения с осью OY, она совпадет в данном случае с выше найденной точкой.

3. Исследуем функцию на четность. Функция называется четной, если выполняется соотношение у(-х) = у(х), и функция называется нечетной, если для нее справедливо соотношение у(-х) = -у(х).

Таким образом, данная функция является нечетной.

4. Для определения интервалов возрастания и убывания найдем производную функции:

Далее найдем нули числителя и знаменателя полученного выражения:

числитель нулей не имеет,

Отмечаем полученные значения на числовой оси:

Числовая ось разделилась на три интервала. Возьмем по одной точке на каждом интервале, например -2, 0 и 2, и вычислим в них значение первой производной:

значит производная на всем интервале (-∞, -1), которому принадлежит точка х = -2, будет отрицательной и на этом интервале функция будет убывать;

точка х = 0 принадлежит интервалу (-1, 1), и на всем этом интервале производная тоже будет отрицательной, а функция будет убывать;

из чего следует, что и на всем интервале (1, +∞) функция будет убывающей.

На всей области определения производная функции отрицательна, следовательно, на всей области определения функция убывает, и потому экстремумов у нее нет.

5. Найдем вторую производную функции:

Найдем нули числителя и знаменателя полученной дроби:

Отметим нули числителя и знаменателя на числовой оси:

Чтобы определить знак второй производной на каждом из полученных интервалов, вычислим ее значение в точках -2; -0,5; 0,5 и 2, принадлежащих этим интервалам:

следовательно всюду на интервале (-∞, -1) вторая производная функции отрицательна, а график функции выпуклый;

значит вторая производная на интервале (-1, 0), которому принадлежит точка -0,5, положительна, и график функции на этом интервале вогнутый;

вторая производная на интервале (0, 1), которому принадлежит точка 0,5, отрицательна, и график функции на этом интервале выпуклый;

на интервале (1, +∞) вторая производная положительна, а график функции вогнутый.

Точкой перегиба графика функции-будет точка х = 0, так как она отделяет интервал вогнутости (-1, 0) от интервала выпуклости (0, 1).

6. Найдем односторонние пределы функции в точках x = -1 и х = 1, где она не определена:

значит в точке х = -1 функция имеет разрыв второго рода;

значит в точке х = 1 функция тоже имеет разрыв второго рода.

Таким образом, график функции имеет две вертикальные асимптоты х = -1 и х = 1.

Для нахождения невертикальных асимптот вычислим пределы:

Следовательно, график функции имеет невертикальную асимптоту у = 0.

Рис. 9

На рис. 9 изображен график данной функции.