Путешествие в историю математики - Свечников А. А. 1995

Как найти сумму ряда чисел, расположенных по порядку?

Есть еще очень интересное свой­ство рассмотренных выше рядов чисел.

Рассказывают, что, когда буду­щий великий немецкий математик Карл Гаусс (1777 — 1855) учился в начальных классах, преподава­тель предложил ученикам самостоятельно найти сумму ряда на­туральных чисел от 1 до 100. Он предполагал, что учащиеся будут складывать эти числа по порядку, на что потребуется не менее 10 минут. Каково же было его удивление, когда маленький Карл через 1 — 2 минуты заявил, что за­дание он выполнил, и дал пра­вильный ответ — 5050. На прось­бу учителя дать объяснение уче­ник ответил: «Я заметил, что 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 и т. д., т. е. пара равно отстоящих от краев ряда чисел дает 101 и последняя пара сред­них чисел 50 + 51 также дает 101. Числа, взятые по паре с начала и с конца ряда, встречаются в середине после пятидесяти сложе­ний этих пар. Поэтому надо 101 • 50 = 5050. Это и будет суммой всех ста чисел»».

Карл Гаусс.

Обратимся к другому ряду чи­сел. Надо найти сумму ряда из 20 нечетных чисел, т. е. 1 + 3 + 5 + 7+... + 35 + 37 + 39. Вос­пользовавшись приемом Гаусса, сложите 1 + 39 = 40, 3 и 37, 5 и 35. Каждый раз будут получаться равные суммы, составляющие чи­сло 40. Всего чисел дано 20, сле­довательно, пар будет 10. Поэто­му сумма этого ряда составит 40 • 10 = 400. Проверьте сложени­ем.

Сделайте такой же подсчет двумя способами для ряда 20 пар четных чисел, т. е. найдите 2 + 4 + 6 + ... + 34 + 36 + 38 + 40 = ? (первый способ).

Сумма 20 первых нечетных чи­сел равна 400. Так как каждое четное число больше предше­ствующего ему нечетного числа на 1, а всех чисел дано 20, то сум­ма 20 четных чисел будет больше суммы 20 нечетных чисел на 20. 400 + 20 = 420 (второй способ). Проверьте первым способом.

Выпишите из какого-либо чи­слового ряда три соседних числа. Среднее из них будет выражать половину суммы двух крайних. Например, для 13, 15, 17 полусум­ма двух крайних чисел будет 15 = (13 + 17) : 2. А сумма всех трех чисел составит 15 • 3 = 45. Про­верьте! Для чисел натурального ряда 32, 33, 34 — (32 + 34) : 2 = 33, а сумма трех чисел 33 • 3 = 99. Можно выписать числа из натурального ряда, не соседние, а разделенные одинаковыми промежутками в два, три (или более) числа. И для этих трех чисел указанное свой­ство будет справедливо. Про­верьте это для чисел натурально­го ряда 62, 67, 72 (здесь проме­жутки между числами равны пяти).