Путешествие в историю математики - Свечников А. А. 1995

Алгебра выходит на самостоятельную дорогу

Решать простейшие алгебраичес­кие задачи люди научились в да­лекой древности. Еще в Древнем Вавилоне и Египте существовали зачатки числовой алгебры. Однако общих приемов решения алге­браических задач не было даже у древних греков.

Один из последних александ­рийских ученых — Диофант (III в.) в своих исследованиях далеко продвинулся в развитии алгебры. Он сформулировал основные ее правила и классифицировал уравнения. Диофант нашел ряд остроумных частных случаев ре­шения довольно сложных задач. Он придумал несколько символов для обозначения алгебраических выражений и применял их в своей практике. Но сочинения Диофан­та долго оставались неизвестны­ми для математиков более по­зднего времени.

В разработку первоначальных представлений по алгебре значи­тельный вклад внесли индийские жрецы (брахманы). Математичес­кие знания в Индии развивались в тесной зависимости от астроно­мии, которой особенно увлека­лись в древнее время. Это увле­чение привело к тому, что ученые Индии достигли высоких резуль­татов в разнообразных вычисле­ниях.

По найденной Бахшалайской рукописи, которая написана на 70 полосах березовой коры, можно судить о знаниях в математике ин­дийцев III — IV вв. В то время в Ин­дии уже была известна десятич­ная позиционная система счисле­ния и нумерации. Целые числа ин­дийцы записывали как дробь со знаменателем 1. Вместо равен­ства употребляли слово пхалам, а при записи обозначали его пер­вым слогом этого слова — пха. Неизвестное они называли сунья и обозначали его жирной точкой. Это название и знак использова­лись и для нуля. Вероятно, неизвестное, пока не было найдено его значение, математики прини­мали за «пустое место».

Фрагмент перевода на латынь трактата «Китаб аль-джебр валь-мукабала» аль-Хорезми из рукописи 1145г.

Позже — в средневековый пе­риод — в Индии математика полу­чила дальнейшее развитие. В этот период нуль стали обозна­чать кружком; слагаемые записы­вали рядом поставленными чи­слами без отделения их каким-ли­бо знаком. Вычитание стали обо­значать точкой, которую распола­гали над вычитаемым. Делитель записывали под делимым. Умно­жение обозначали слогом бха, что означало слово бхавита, т. е. «произведение». Неизвестное стали называть йаватават и обо­значали первыми буквами этого слова — йа. Второе неизвестное обозначали слогом ка. Запись йа бха ка означала: х∙у.

При решении задач индийские математики пользовались прави­лом положения. Вслед за ними его стали применять математики Ближнего и Среднего Востока. В истории развития алгебры в пер­вой половине IX в. огромную роль сыграл трактат аль-Хорезми, в котором решение уравнений рас­сматривалось не в связи с арифметикой, а как самостоятельный раздел математики.

Абу Абдалах Мухаммед бен Му­са аль-Хорезми, т. е. отец Абдалаха, Мухаммед, сын Мусы из Хорез­ма, написал сочинение на араб­ском языке, известное под названием «Книга о восстановлении и противопоставлении» (на араб­ском языке — «Китаб аль-джебр валь-мукабала»). При переводе на латинский язык арабское название трактата было сохранено. С течением времени его сократи­ли и стали писать коротко: alge­bra, т. е. алгебра.

Аль-Хорезми в своем трактате разъясняет, что в алгебре приме­няются неизвестные, их квадраты и свободные члены уравнений. Неизвестное автор называет ко­рень. Затем он рассматривает различные виды уравнений и при­емы их решения. При этом аль-Хорезми предлагает переносить отрицательные члены уравнений из одной части в другую и назы­вает это восстановление, а вычи­тание равных членов из обеих ча­стей уравнения он называет про­тивопоставление — валь мукабала. Видоизменение слова «аль- джебр» и послужило названием нового раздела математики — ал­гебра.

Уравнение 5х² = 6 - 2х + 5х², ис­пользуя приемы аль-Хорезми, можно решить так:

аль-джебр (восстановление) дает 5х² + 2х = 6 + 5х²; применяя валь-мукабала (противопостав­ление), получим 2х = 6; х = 6 : 2; х = 3

Однако аль-Хорезми еще не пользуется символами и все вы­кладки записывает словами. На­пример, уравнение х² +10х = 39 он выразил бы так: «Квадрат и де­сять корней его равны девяти дирхемам».

В другом разделе алгебраичес­кого трактата аль-Хорезми изла­гает правила умножения одно­членов и двучленов. В заключи­тельных главах его сочинения приведены задачи и рассматрива­ются способы их решения. Вот од­на из его задач: «Работник, ме­сячный заработок которого 10 дирхемов, работал 6 дней. Какова его доля?»

Решение этой задачи сведено к решению уравнения 30 : 10 = 6 : х; х = 6 • 10 : 30; х = 2 (здесь решение дано в современных обозначениях).

В своем трактате аль-Хорезми рассматривает неизвестное чи­сло как величину особого рода, вводит термин корень, свободный член называет дирхем (так в то время называли и денежную еди­ницу). Он распределяет уравне­ния по видам, разъясняет, как применять правила восполнения и противопоставления, формули­рует правила решения уравнений различных видов.

В рукописях аль-Хорезми все математические выражения и все выкладки записаны словами, вот почему алгебру того времени и бо­лее поздних времен называли ри­торической, т. е. словесной. В пе­риод работы над алгебраическим трактатом аль-Хорезми уже знал о числовой алгебре Вавилона и других стран Востока. Он был зна­ком с геометрической алгеброй греков и достижениями индийс­ких астрономов и математиков.

Аль-Хорезми выделил алге­браический материал в особый раздел математики и освободил его от геометрического толкова­ния, хотя в некоторых случаях пользовался геометрическими доказательствами. Алгебраиче­ский труд аль-Хорезми стал об­разцом, который изучали и кото­рому подражали многие матема­тики более позднего времени. По­следующие алгебраические сочи­нения и учебники по своему ха­рактеру стали приближаться к современным. Алгебраический трактат аль-Хорезми послужил началом создания науки алгебры. Он был в числе первых сочинений по математике, переведенных на латинский язык. В то время в Ев­ропе все научные труды писали и печатали на латинском языке.