Путешествие в историю математики - Свечников А. А. 1995

«Считающие» чертежи

Изображение чисел отрезками во многих случаях помогает не толь­ко при решении задач, но и при сложных вычислениях, облегчая умственный труд человека. Рассмотрим пример, в котором чер­теж позволяет найти приблизи­тельный ответ без вычислений. Во многих задачах довольно ча­сто скорость движения одного предмета задана километрами в час, а для другого предмета ско­рость выражена метрами в мину­ту. При решении таких задач одну из скоростей нужно определить в других единицах измерения. Для выражения скорости в одних и тех же измерениях сделаем чертеж. Проведем прямую, отложим на ней равные отрезки, проставим над их концами числа 1,2, 3..., ко­торые будут выражать скорость в километрах в час.

Затем измерением найдем значение отрезка скорости в 5 м/мин и нане­сем на прямую метки, соответ­ствующие отрезкам 5, 10, 15, 20... метров в минуту (см. с. 146).

Теперь у нас получился «счита­ющий» чертеж, который позволит выразить заданное число киломе­тров в час в метрах за минуту, и наоборот. Например:

Еще пример. Представьте себя на месте учетчика, который определяет выполнение нормы выра­ботки при вспашке земли. Пусть, например, по плану для трактористов установлена норма выработ­ки пашни в день. Чтобы легче было подсчитывать, сколь­ко норм выполнил тракторист или целая бригада, сделаем чертеж. На листе клетчатой бумаги (луч­ше взять миллиметровку) прове­дем из одной точки две прямые (оси) под прямым углом друг к другу. На горизонтальной оси от­кладываем равные отрезки и про­тив точек, ограничивающих отрезки, запишем числа 0, 1, 2, 3... На вертикальной оси сделаем то же. Для нашего чертежа против числа 45, стоящего на горизон­тальной оси, отсчитаем десять делений вверх и поставим точку. Делаем это так потому, что де­сять норм выработки составляют 45 га. Указанную точку соединим наклонной прямой с начальной точкой отсчета — точкой пересе­чения осей, у которой стоит 0.

Если бригада трактористов вспахала 36 га, то учетчик дол­жен на горизонтальной оси найти число 36 и подсчитать, на какой высоте, выраженной в масштаб­ных единицах, над этой точкой проходит наклонная прямая. В этом месте она отстоит на 8 еди­ниц от горизонтальной оси. Зна­чит, бригада выполнила 8 норм.

Такие чертежи называют номо­граммами. Номограмма — слово греческое. В переводе оно озна­чает «черчение закона», или «черчение правила», т. е. изобра­жение закона, или правила, чер­тежом. Номограммы можно при­менять во многих случаях вычи­слений.

Например, когда требуется ча­сто складывать двузначные чи­сла, можно построить следующую номограмму. Проведем на равных расстояниях одна от другой три прямых под углом к четвертой прямой. На крайних прямых отло­жим равные масштабные едини­цы. А на средней прямой такие единицы отложим в два раза мельче. Против делений проставим соответствующие числа. Если потребуется сложить, на­пример, 27 и 49, приложим линей­ку так, чтобы на левой шкале она проходила через деление 27, а на правой — через деление 49. Ответ 76 можно прочитать на средней шкале. Этой номограм­мой можно воспользоваться и при вычитании двузначных чисел.

Определение нормы выработки с помощью номограммы.

Сложение двузначных чисел по номограмме.

Подобные «считающие» черте­жи, или номограммы, имеют длин­ную историю. Уже солнечные ча­сы представляли собой «счита­ющий» чертеж на песке, где роль линии выполняла тень от стерж­ня, воткнутого в землю. Гречес­кие математики Евклид, Аполло­ний Пергский и другие выражали числа отрезками. Галилей дока­зывал открытый им закон уско­ренного движения тел с помощью построения своеобразной номо­граммы. Но в то время этого наз­вания не существовало, да и спе­циальным изучением чертежей для вычислительных целей не за­нимались. Большой вклад в обо­снование графического выраже­ния величин внесли математики Ферма, Декарт и Эйлер.

Значительный интерес к разра­ботке правил построения и приме­нения номограмм при вычислени­ях у математиков появился в XIX в. Первым занялся прямолинейными номограммами в 1843 г. французский математик Л. Лалан. В России изучением метода номо­грамм занялись лишь в начале XX в. — Н. М. Герсованов (1879 — 1950) и особенно Н. А. Глаголев (1888 — 1945).

Абак. Это, пожалуй, первый вычислительный прибор. Появился он около 2500 лет назад и был широко распространен в Египте, Китае, Греции.