Уроки геометрии в задачах 7—8 классы - М. А. Волчкевич 2016

Медианы треугольника

1. Две медианы в треугольнике равны. Докажите, что он равнобедренный.

*2. Можно ли утверждение предыдущей задачи доказать без пятого постулата Евклида?

3. (Свойство медиан треугольника.) Докажите, что все медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ей в отношении 2:1, считая от вершины. Для доказательства используйте приведенный чертеж.

4. Две медианы треугольника перпендикулярны. Найдите отношение третьей его медианы к соответствующей стороне.

5. На продолжении стороны АС треугольника АВС взяли точку К так, что СК = АС. Точка М — середина АВ. В каком отношении прямая МК делит сторону ВС?

В

6. Точку на катете прямоугольного треугольника соединили с одной его вершиной и серединой гипотенузы. При этом оказалось, что отмеченные на рисунке углы равны. В каком отношении данная точка делит катет?

7. В трапеции ABCD точка М —середина боковой стороны CD. На отрезке AM взяли точку О так, что АО : ОМ = 2:1. Прямая ВО пересекает основание AD в точке Е. Докажите, что отрезок АЕ равен средней линии трапеции.

В С

*8. Точка Е — середина стороны CD параллелограмма ABCD, точка К лежит на стороне AD. На отрезке BE взята точка О так, что ВО — 2 ОЕ. Прямая О К пересекает сторону ВС в точке М. Найдите отношение СМ :АК.

В М С

9. Докажите, что из медиан произвольного треугольника всегда можно составить новый треугольник так, что его стороны будут параллельны данным медианам.

10. Из медиан данного треугольника составили новый треугольник. В нем провели произвольную медиану. Докажите, что она составляет 3/4 одной стороны прежнего треугольника.