ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ - СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Цели деятельности учителя

Создать условия для доказательства признаков равенства прямоугольных треугольников и демонстрации их применения при решении задач

Термины и понятия

Треугольник, противолежащий угол, катеты, гипотенуза

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Владеют базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания

Познавательные: умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения и выводы, понимать и использовать математические средства наглядности.

Регулятивные: принимают и сохраняют цели и задачи учебной деятельности.

Коммуникативные: умеют работать в сотрудничестве с учителем, аргументировать и отстаивать свою точку зрения.

Личностные: проявляют способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

• Задания для фронтальной работы

I этап. Актуализация опорных знаний учащихся

Цель деятельности

Совместная деятельность

Проверить уровень усвоения теоретического материала

(Ф/И)

1. Ответить на вопросы учащихся по домашнему заданию.

2. Сформулировать свойства прямоугольных треугольников.

3. Вспомнить признаки равенства треугольников.

4. Решить задачу.

Гипотенузы BD и АС прямоугольных треугольников BAD и АВС с общим катетом АВ и с равными катетами AD и ВС пересекаются в точке О.

Докажите, что треугольник АОВ равнобедренный.

5. Заполнить пропуски в решении задачи.

Высота и медиана, проведенные из одной вершины треугольника, разделили его угол на три равные части.

Найдите углы треугольника.

Решение:

Пусть СН - высота, СМ - медиана ∠АВС, ∠1 = ∠2 = ∠3.

Проведем ОМ А. СВ, тогда ΔАСН = ΔМСН по ... ΔАСМН = ΔСМО по ...

Тогда

Ответ: ∠Z = 60°, ∠В = 30°, ∠С = 90°

II этап. Учебно-познавательная деятельность

Цель деятельности

Совместная деятельность

Рассмотреть и доказать признаки равенства прямоугольных треугольников

(Ф/И)

1. Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольников по двум катетам, по катету и прилежащему острому углу, по гипотенузе и острому углу с опорой на признаки равенства треугольников (устно; самостоятельно).

2. Доказательство признака равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу по моделям равных прямоугольных треугольников (устно).

3. Доказательство признака равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету (по рис. 133 учебника) (проводит учитель, так как доказательство этого признака требует дополнительных построений и непростых логических рассуждений)

III этап. Учебно-познавательная деятельность

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Научить применять изученные признаки при решении задач

(Ф/И) Организует деятельность учащихся.

1. Решить задачу № 261 на доске и в тетрадях.

2. Сформулировать и доказать признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу (задача № 268) (самостоятельно).

3. Решить задачу № 269 на доске и в тетрадях.

4. Решить задачу.

Докажите, что если треугольник прямоугольный, то медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Доказательство:

ΔСВМ - равнобедренный. ΔСМА - равнобедренный (по усл.), следовательно, по свойству равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°, 2∠2 + 2∠4 = 180°, ∠2 + ∠4 = 90°, следовательно, ΔАВС - прямоугольный.

5. Решить задачу.

Дано: СМ = ВМ = МА.

Доказать: ΔАВС - прямоугольный.

Доказательство:

Пусть СМ ≠ МА и СМ ≠ МВ.

Для определенности пусть СМ > МА, тогда СМ > МВ, следовательно, ∠4 > ∠3, ∠1 > ∠2, но ∠1 + ∠4 = 90°, тогда ∠2 + ∠3 < 90°, что противоречит тому, что ∠C = 90°. Таким же образом можно получить противоречие для случая СМ < МА, СМ < МВ. Значит, СМ = МА = МВ.

После обсуждения нужно отметить, что эти две задачи иллюстрируют свойства прямоугольных треугольников

№ 261.

Дано: ΔАВС - равнобедренный, АВ = ВС, АА₁, СС₁ - высоты.

Доказать: АА₁ = СС₁.

Доказательство:

2) ΔА₁АС и ΔC₁CА: АС - общая, ∠А₁АС= ∠С₁СА (из п. 1), ∠С₁АС = ∠А₁СА (АВ = ВС).

ΔА₁АС = ΔС₁СА (по стороне и двум прилежащим углам), тогда АА₁ = СС₁ (по определению равных треугольников), что и требовалось доказать.

№ 268.

Дано: ΔАВС и ΔА₁В₁С₁, ∠C = ∠C₁ = 90°, ∠B = ∠B₁, АС = A₁C₁.

Доказать: ΔАВС = ΔА₁В₁С₁.

Доказательство:

2) Рассмотрим ΔABC и ΔA₁B₁C₁. AC = A₁C₁ (по усл.), ∠C = ∠C₁ (по усл.), ∠A = ∠A₁ (из п. 1), следовательно, ABC = ΔA₁B₁C₁, что и требовалось доказать.

№ 269.

Дано: ΔАВС и ΔА₁В₁С₁, ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ВН, В₁Н₁ - высоты, ВН = В₁Н₁.

Доказать: ΔАВС = ΔА₁В₁С₁.

Доказательство:

1) Рассмотрим ΔАВН и ΔА₁В₁Н₁. ВН = В₁Н₁, ∠A = ∠A₁, следовательно, ΔАВН = ΔА₁В₁Н₁ (по катету и острому углу), тогда АВ = А₁В₁, (по определению равных треугольников).

2) Рассмотрим ΔАВС и ΔА₁В₁С₁. АВ = А₁В₁, (из п. 1), ∠A = ∠A₁ (по усл.), ∠B = ∠B₁ (по усл.), следовательно, ΔАВС = ΔA₁В₁C₁ (по стороне и прилежащим углам)

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

- Перечислите свойства прямоугольных треугольников.

- Перечислите признаки равенства прямоугольных треугольников.

- Оцените свою работу на уроке.

- Составьте синквейн к уроку

(И) Домашнее задание: изучить п. 36; ответить на вопросы 12-13 на с. 88-89; решить задачи № 262, 264