Вариант № 7 - Учебно-тренировочные тесты - МАТЕМАТИКА ПОДГОТОВКА К ЕГЭ

Часть 1

В1. В летнем лагере 150 детей и 19 воспитателей. В автобус помещается не более 35 пассажиров. Сколько автобусов требуется, чтобы перевезти всех из лагеря в город?

В2. На диаграмме 50 показано число посетителей сайта «Инфо-новости» за каждый месяц 2010 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — число посетителей. Определите по диаграмме номер месяца, когда сайт посетило больше всего людей.

Рис. 50.

В3. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображена трапеция (см. рис. 51). Найдите её площадь в квадратных сантиметрах.

Рис. 51.

В4. В таблице указаны средние цены (в рублях) на некоторые основные продукты питания в трёх южных городах России (по данным на начало 2011 года).

Наименование продукта	Ростов-на-Дону	Краснодар	Ставрополь
Пшеничный хлеб (1 батон)	15	14	17
Молоко (1 литр)	30	27	35
Картофель (1 кг)	40	50	45
Сыр (1 кг)	230	220	250
Мясо (говядина, 1 кг)	290	270	280
Подсолнечное масло (1 литр)	32	30	28

Определите, в каком из этих городов окажется самым дешёвым следующий набор продуктов: 2 батона пшеничного хлеба, 3 кг картофеля и 2 кг говядины. В ответе запишите стоимость данного набора продуктов в этом городе (в рублях).

В5. Найдите корень уравнения 7^{x - 9} = 49.

В6. В параллелограмме ABCD sin С = 0,8 (см. рис. 52). Найдите cos D.

Рис. 52.

В7. Найдите значение выражения

В8. На рисунке 53 изображён график у = f'(x) производной функции f(x) и отмечены семь точек на оси абсцисс: x₁, x₂, х₃, ..., х₇. Сколько из этих точек принадлежат промежуткам возрастания функции f(x)?

Рис. 53.

В9. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса (см. рис. 54). Образующая конуса равна 7√2. Найдите радиус сферы.

Рис. 54.

В10. Симметричную монету подбрасывают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз.

В11. Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке 55.

Рис. 55.

В12. По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна где ε — ЭДС источника (в вольтах), r = 2 Ом — его внутреннее сопротивление, R — сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более 10% от силы тока короткого замыкания (Ответ выразите в омах.)

В13. Из городов А и В, расстояние между которыми 280 км, одновременно навстречу друг другу выехали два мотоциклиста и встретились через 4 часа на расстоянии 80 км от города В. Найдите скорость мотоциклиста, выехавшего из города А. Ответ дайте в км/ч.

В14. Найдите точку, в которой функция у = (6 — х)е^{10 - х} на отрезке [2; 9] принимает наименьшее значение.

Часть 2

С1. а) Решите уравнение sin 3х = 4 sin х cos 2х.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (0; 3π/2).

С2. В тетраэдре ABCD, все рёбра которого равны 5, найдите расстояние от точки А до прямой, проходящей через точку В и середину Е ребра CD.

С3. Решите систему неравенств

C4. Треугольник ABC описан около окружности с центром О и вписан в окружность. Продолжения отрезков АО и ВО пересекаются с описанной около треугольника окружностью в точках М и N соответственно, причём AM = MN. Один из углов треугольника равен 30°. Найдите величину других углов и выразите их в градусах.

С5. Найдите все значения а, при которых уравнение х² — (3^а — 1)х — 3 ∙ (9^а-1 — 3^а-2) = 0 имеет ровно один корень.

С6. Найдите восьмизначное число х в каждом из следующих случаев:

а) первая цифра в записи числа х равна 8. Если первую цифру перенести в конец, сдвинув остальные цифры на один разряд влево, то число не изменится;

б) первая цифра в записи х равна 6. Если её стереть, то получится число в 16 раз меньше исходного;

в) первая цифра в записи числа х не больше 6. Если её увеличить на 3, то получится число в 3 раза больше исходного.